Системы линейных уравнений.

6.1. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера. Сделать проверку найденного решения.

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

Решение системы равнений с использованием формул Крамера проводится для систем линейных неоднородных уравнений -го порядка в случае, когда уравнений столько же, сколько и неизвестных:

(1)

где коэффициенты , ; – вещественные числа; , – искомые неизвестные; , – вещественные числа, их называют: свободные члены. Числа: , считаем заданными.

Системе уравнений (1) соответствуют: матрица системы (составлена из коэффициентов при неизвестных), матрице соответствует определитель:

= , = .

Замечание: решение системы уравнений с применением формул Крамера не предполагает построения и использования расширенной матрицы .

Было показано, что если , то для записи решений системы уравнений (3) можно использовать формулы Крамера: , , где:

= .

Формулы , , определяют единственное решение, причем не нулевое, так как по условию в правой части (3) имеются не равные нулю b _i.

Трудоемкость применения правила Крамера оценивают трудоемкостью вычисления (n+1)-го определителя n-го порядка. Достоинство метода в том, что в записи решения системы используются только коэффициенты исходного уравнения. Нередко последнее оказывается важным в теоретических исследованиях.

Замечание: при исследовании произвольной системы линейных уравнений (как неоднородных, так и однородных) формулы Крамера так же применяют, но только после того, как проведено общее исследование системы методом Гаусса или применением теоремы Кронекера-Капелли.

Ниже рассмотрены примеры решения систем уравнений с использованием формул Крамера.

Примеры (и образец оформления):

Пример – 1: Решить систему уравнений: по правилу Крамера.

Решение:

1) Используя коэффициенты левой части заданной системы линейных уравнений, запишем определитель: = и вычислим его: =–3.

2) Вычислим определители:

= =–3, = =–6, = =–6, = =0.

2) Применяя формулы Крамера: , , получаем: =1, = =2, =0.

Ответ: решение: (1, 2, 2, 0).

Пример – 2: Решить систему уравнений: по правилу Крамера.

Решение:

1) Используя коэффициенты левой части заданной системы линейных уравнений, запишем определитель: = и вычислим его: =0.

Замечание: так как =0, то задание решить систему уравнений с применением формул Крамера не выполнима, и автор решения вправе заявить об этом и далее не исследовать систему; только любопытство может подвигнуть нас на продолжение!

2) Вычислим определители:

= 0 → видим: невозможно. Вычислять , , нет смысла!

Ответ: решений нет.

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.

6.2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Сделать проверку найденного решения.

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

Метод Гаусса называют часто методом последовательного исключения неизвестных. Для реализации этого метода удобно оперировать не с исходной записью системы в виде (1), а с матрицей коэффициентов системы:

, (1)

её принято называть расширенной матрицей системы уравнений.

Метод Гаусса заключается в последовательном применении к строкам матрицы эквивалентных преобразований, приводящих эту матрицу к трапецоидальному или треугольному (в частном случае) виду. В результате реализации метода получим:

▫ система уравнений будет несовместной, если в процессе преобразований получается уравнение, в котором коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; если же такое уравнение не встретим, то система будет совместной;

▫ если система совместной, то она будет определенной, если она приводится к треугольному виду, и неопределенной, если приводится к трапецоидальному виду.

В основном метод применяют в тех случаях, когда не предполагается исследование технической системы: нужна лишь оценка (подтверждение) реакции системы на конкретные внешние воздействия.

Трудоемкость метода Гаусса оценивают трудоемкостью вычисления одного определителя -го порядка.

Рассмотренные ниже примеры решения систем уравнений с использованием метода Гаусса достаточно полно иллюстрируют его возможности.

Примеры (и образец оформления):

Пример – 1: Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.

Решение:

1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:

Выполнены операции: (1): [R4]–[R2]; [R4] делим на 3; [R1]–[R4]; [R2]–[R1]·3; [R3]–[R1]·2. (2): [R2]+[R4]; [R2] делим на 2; [R4]+[R3]; [R4] делим на 3. (3): [R2]–[R3]·3; [R2]+[R3]·7. (4): получение результата.

2). Получены результаты: - система совместна;

- ранг системы равен 4 → решение системы единственно.

3). Из уравнения [R2] следует: = ; далее из уравнения [R2]: 6 = , откуда вычисляем: x ₃ = ; из уравнения [R3]: = , откуда вычисляем: = 2; из уравнения [R1]: = , откуда вычисляем: =0.

Ответ: (0, 2, , – ).

Пример – 2: Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.

Решение:

1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:

Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R3]–[R1]; [R2]–[R1]·2. (2): [R4]+[R3]; [R3]–[R2]. (3): видим: [R3] – невозможна.

2). Получены результаты: - система несовместна.

Ответ: система несовместна.

Пример – 3: Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.

Решение:

1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:

Выполнены операции: (1): [R1]–[R2]; [R2]–[R3]; [R3]–[R1]. (2): [R2]–[R1]; делим строку [R2] на 2; [R3]+[R2]. (3): [R2]+[R3]; [R4]+[R2]. (4): раскрываем таблицу и вычисляем все неизвестные.

2). Получены результаты: - система совместна;

- ранг системы равен 3 → свободная неизвестная = .

3). Из уравнения [R3] следует: =0; далее из уравнения [R2]: =–7; раскрывая уравнение [R1], получаем: = = .

4). Получили общее решение заданной системы, записываем ответ.

Ответ: .

Замечание: любая промежуточная ошибка в цепочке вычислений может быть исправлена от места обнаруженной ошибки.

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.

6.3. Найти общее решение и ФСР системы линейных однородных уравнений. Сделать проверку найденного решения.

Общие сведения и расчётные формулы: по представленному заданию.

Общая схема решения произвольной системы линейных однородных уравнений:

A 1 *: Вычисляем ранг матрицы коэффициентов системы уравнений.Так как для однородной системы уравнений = , то всегда выполняется . Однородная система уравнений всегда совместна. Пусть = . Это значит, что определён базовый минор M матрицы системы уравнений.

A 2 *: В системе уравнений оставляем только те уравнения-строки, которые попали в базовый минор: остальные являются следствием выделенных.

A 3 *: В левой части каждого из оставшихся для дальнейшего решения уравнений оставляем те столбцов с неизвестными, которые попали в базовый минор: остальные неизвестные объявляем свободными и соответствующие столбцы с ними переносим в правую часть. Учтём, что свободных неизвестных .

A 4 *: Находим решения преобразованной системы уравнений, применяя формулы Крамера: определитель преобразованной системы не равен нулю!

A 5 *: Полученное решение системы называют общим: вычисленные по формулам Крамера неизвестные выражаются через свободные неизвестные. Присваивая свободным неизвестным произвольные значения, получаем частные решения.

A 6 *: Выбирая независимых частных решений, определяем вычисляемые неизвестных. Полученные таким образом векторы-решения могут быть приняты в качестве ФСР.

Замечание: выбор свободных неизвестных определяет тот, кто исследует заданную систему уравнений, используя или метод Гаусса, или теорему Кронекера-Капелли.

Примеры (и образец оформления):

Пример – 1: Исследовать систему уравнений: Найти общее решение и одно частное.

Решение:

1). Составим матрицу: = и найдём её ранг. Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу матрицы:

3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где – указывает номер отмеченной для окаймления строки, – указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:

= =4· –8· +12· = m ₁· (5) – h ₁· (4) + g ₁· (1) =4·(5)–8·(4)+12·(1) =0;

Замечание: параметры: m ₁, h ₁, g ₁ изменяются при переходе к минорам , , числа: (5), (4), (1) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!

= = m ₂· (5) – h ₂· (4) + g ₂· (1) = 3·(5)–6·(4)+9·(1) =0;

4). Так как все миноры 3-го порядка оказались равными нулю, то =2.

5). Учитывая расположение не равного нулю минора, 3-е уравнение отбрасываем и свободными неизвестными объявляем и :

далее применяем правило Крамера:

=1; = = ; = =0.

6). Общее решение системы: = = ; = =0; частное решение получим при значениях: =1, =–1, → =1, =0.

Ответ: общее решение: = = ; = =0; частное решение: (1, –1, 1, 0).

Замечание: этот пример иллюстрирует алгоритм вычисления общего и одного частного решений, после чего определение ФСР становится достаточно простым завершением решения системы линейных однородных уравнений.

Пример – 2: Найти общее решение системы уравнений: и ФСР.

Решение:

1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:

Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R2]–[R1]·2; [R3]–[R1]·3. (2): [R3]–[R2]·2; [R4]–[R2]. (3): [R1]–[R2]. (4): раскрываем полученный результат.

2). Видим: =2. Свободными неизвестными объявляем , , . Раскрываем таблицу:

3) Применяем правило Крамера:

= 4; = = ; = = .

4). Общее решение системы: x ₄ = ; x ₅ = .

5). Построим ФСР (фундаментальную систему решений), избегая дробей:

Векторы-решения , , линейно независимы, их количество =3. Эти векторы могут быть приняты в качестве ФСР.

Ответ: общее решение: x ₄ = ; x ₅ = ;

ФСР: = (4, 0, 0, 9, –3); = (0, 4, 0, 6, –2); = (0, 0, 4, 8, –4).

Пример – 3: Найти общее решение системы уравнений: и ФСР.

Решение:

1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:

Выполнены операции: (1): [R2]–[R1]; [R3]–[R1]; делим [R3] на число 2; [R4]–[R2]. (2): [R1]–[R2]; [R4]–[R3]; [R2]–[R1];. (3): [R3]–[R2]. (4): раскрываем полученный результат.

2). Видим: =2. Свободными неизвестными объявляем , , .

3). Раскрывая таблицу, из уравнения [R2] вычисляем: = ; из уравнения [R1] вычисляем: = . Получено общее решение: как и в случае неоднородной системы уравнений.

4). Построим ФСР, избегая дробей в записи решений ФСР:

Векторы-решения , , линейно независимы, их количество =2. Эти векторы могут быть приняты в качестве ФСР.

5). Используя ФСР, запишем общее решение: = + + . Такая запись общего решения невозможна для неоднородной системы!

Ответ: общее решение: = ; = ; или: = + + .

ФСР: = (2, 0, 6, 0, 0); = (–4, –3, 0, 6, 0); = (–10, 9, 0, 0, 6).

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.

6.4. Решить систему неоднородных линейных уравнений, записав его общее решение в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения присоединённой однородной системы.

Общие сведения и расчётные формулы: для выполнения задания достаточно следовать алгоритму решения, представленному в примере.

Пример – 1: Решить систему уравнений: записав общее решение в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения присоединённой однородной системы.

Решение:

1). Полное исследование системы позволяют провести как метод Гаусса, так и алгоритм в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли. Применим пошаговый процесс метода Гаусса:

Выполнены операции: (1): [R1]–[R4]; [R3]–[R2]; [R2]–[R1]·8; [R4]–[R1]·5. (2): [R3]–[R1]; [R4]–[R2]. (3): обрабатываем результаты.

2). Получены результаты: - система совместна;

- ранг системы равен 3; свободные неизвестные: и :

- раскрываем строки преобразованной системы:

из уравнения [R4]: = ; из уравнения [R2], с учётом найденного значения неизвестной : = ; из уравнения [R1], с учётом найденных значения неизвестных и : = .

3). Частное решение системы найдём при условии, что свободным неизвестным присвоили значения =1, =1 = ; = ; = , обозначим его: = .

4). Общее решение присоединённой однородной системы: = ; = ; = . Построим ФСР (фундаментальную систему решений):

Векторы-решения , линейно независимы, их количество =2. Эти векторы могут быть приняты в качестве ФСР.

5). Общее решение системы: = + = + + .

Ответ: общее решение: = + + .

Варианты индивидуальных заданий:

Вар.	Задание:	Вар.	Задание:	Вар.	Задание:
1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
19.		20.		21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.