ЗАНЯТИЕ 9. Определители n-го порядка: свойства определителей и способы вычисления.

Прочти, реши и опять прочти!..

Настоящее методическое пособие предназначено помочь студентам в освоении теоретических вопросов предмета «Линейная алгебра» путём использования подробно решённых задач и примеров.

Одновременно, пособие должно помочь наиболее мотивированным студентам развивать навыки самостоятельной работы, что очень важно при подготовке инженера любой специальности.

Тем, кто захочет воспользоваться возможностью показать себя постоянно и эффективно работающим, привлечь к себе внимание преподавателей и научных руководителей, приобрести авторитет среди своих товарищей, пособие тоже окажет помощь.

Рассмотренные и доступные с самого начала семестра материалы помогут качественно готовиться и к лекциям, и практическим занятиям, и к различным контрольным испытаниям.

СОДЕРЖАНИЕ:

•◄ ● ► •

Замечание: если в рассматриваемом Задании пример имеет номер 9-5, это значит, что в Задании 9 пример имеет номер по порядку 5.

ЗАНЯТИЕ 9. Определители n-го порядка: свойства определителей и способы вычисления.

☺ ☻ ☺

Пример 9–1: Разлагая определитель по 2-му столбцу, вычислить: .

Решение:

Замечание: удобно вынести множитель из столбца-4, и только потом применять разложение по столбцу!

1) Запишем: – d = a + b + c +e ,

или: d = – + – .

2) Вычислим все определители разложения: = (1) = = (2) = =2.

Операции: (1): [C1]–[C3]. (2): применяем разложение определителя по столбцу-1 и завершаем вычисление.

= (1) = = (2) =4· =8.

Операции: (1): [C1]–[C3]. (2): применяем разложение определителя по столбцу-2 и завершаем вычисление.

= (1) = = (2) = =1· =1.

Операции: (1): [R3]–[R2];. (2): [C1]–[C3]. (3): применяем разложение определителя по строке-3 и завершаем вычисление.

= (1) = = (2) = = (3) =–1 =–5.

Операции: (1): [C1]–[C2]. (2): [R1]+[R3]·3. (3): применяем разложение определителя по столбцу-1 и завершаем вычисление.

3) Окончательно имеем: = .

Ответ: d = .

Пример 9–2: Вычислить определитель: .

Решение:

Воспользуемся свойствами определителя и вычислим:

= (1) = – e · = (2) =– · = .

Операции: (1): применим разложение определителя по строке-4. (2): применяем разложение по столбцу-1 и завершаем вычисление.

Ответ: .

Пример 9–3: Вычислить определитель: разложением по строке (столбцу).

Решение:

Применяя операции со строками и столбцами, добьёмся максимальной простоты чисел-элементов определителя:

d = (1) = = (2) =10· = (3) =10· =100.

Операции: (1): [C1]–[C5]; [R2]–[R1]; [R3]–[R1]; [R4]–[R1]·2; [R5]–[R1]·2. (2): применяем разложение определителя по столбцу-1, вынося множитель 2 из получающегося определителя 4-го порядка. (3): [R3]+[R1]; [R4]–[R1]. (4): получен определитель треугольного вида → завершаем вычисление.

Ответ: d =100.

Пример 9–4: Вычислить определитель: .

Решение:

1) Запишем: d = (1) = = (2) = = (3) = = (4) =

= = (5) = =5.

Операции: (1): [C2]–[C3]; [C2]–[C3]; [C4]–[C1]; [C3]–[C4]. (2): [R1]–[R5]. (3): применяем разложение определителя по строке-1. (4): [R1]–[R4]. (5): применяем разложение определителя по строке-1; [R1]–[R3] и завершаем вычисление.

Ответ: d =5.

Пример 9–5: Вычислить определитель: d= .

Решение:

Используя свойства определителя, выполним действия:

1) Прибавим 1-ю строку к 2-й, 3-й, и т.д. строкам → получен определитель треугольного вида с элементами на главной диагонали 1, 2, 3, …, n;

2) Известно, что такой определитель равен произведению элементов расположенных на главной диагонали: 1·2·3· … · n = n!

Ответ: d = n!

☻