ЗАНЯТИЕ 11. Обратная матрица: определение, способы вычисления. Матричные уравнения и способы их решения.

☺ ☻ ☺

Пример 11 – 1: Найти обратную матрицу для матрицы: .

Решение:

Способ- 1. Используя выражение = , выполним действия:

1) Вычисляем определитель заданной матрицы: d = = –1 → матрица существует.

2) Вычисляем матрицу = , где = – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

При построении матрицы для вычисления алгебраического дополнения , соответствующего элементу , будем выделять соответствующий минор при помощи полосок картона, закрывая элемент горизонтальной и вертикальной полосками. Это позволит видеть любой выделяемый минор и легко записывать для дальнейшего использования! Указанные действия рекомендуется выполнять на черновике!

* Выделим миноры: к элементу ; к элементу ; к элементу :

					= 8;							= 5;							=–1,
		-3												-3
		-5	-1										-1									-5

и вычислим алгебраические дополнения , , выделенных миноров:

= = 8; = = 5; = = –1;

* Выделим миноры: к элементу ; к элементу ; к элементу :

		-4			= –29;							= –18;				-4			= 3,
		-5	-1										-1									-5

и вычислим алгебраические дополнения , , выделенных миноров:

= = –29; = = –18; = = 3;

* Выделим миноры: к элементу ; к элементу ; к элементу :

		-4			= 11;							= 7;				-4			= –1;
		-3												-3

и вычислим алгебраические дополнения , , выделенных миноров:

= = 11; = = 7; = = –1;

3). Учитывая результаты вычислений, можем записать: = · .

Способ- 2. Записываем связку двух матриц : = . Далее одновременным преобразованием строк этой матрицы, добиваемся преобразования ее левой половины в единичную матрицу . Правая половина матрицы будет иметь вид .

1). Выполним операции: (1): [R3] –[R1]; [R1] –[R2]: имеем = .

2). Выполним операции: (2): [R2] –[R1]·2; [R3] –[R2]. (3): [R2]+[R3]·7; [R1] –[R2]. Имеем:

= (2) → = (3) → = .

3). Выполним операции: (4): [R1] – [R3] ·4. (5): [R2]·(–1), где R – строка. Имеем:

= (4) → = (5) → .

4). Получена обратная матрица: в правой половине связки матриц.

Замечание: в рассмотренном примере Способ-2 по трудоёмкости вычисления матрицы может оказаться проще, чем Способ-1, если при вычислении не было ни одной ошибки; если случилась ошибка, необходимо всё пересчитать заново!

Ответ: А ^–1 = .

Пример 11 – 2: Найти обратную матрицу для матрицы: .

Решение:

Замечание: учитывая, что образное мышление у школьников чаще всего отсутствует, рекомендуем применять моделирование матриц размера при помощи матрицы размера (6, 6).

Способ- 1. Используем выражение = .

Замечание: далее при вычислении необходимых алгебраических дополнений использование моделирования миноров защищает от ошибок в вычислениях!

1). Вычисление определителя матрицы не представляет труда (треугольного вида!): d =1 → невырожденная: обратная матрица существует: = .

2). Пусть . Для выделенного элемента запишем: = · = 1, так как минор при любом есть определитель треугольного вида. Это значит, что на главной диагонали матрицы располагаются 1.

i

i

i

i

Это значит, что на главной диагонали матрицы располагаются числа 1.

3). Пусть : выделены элементы матрицы под главной диагональю. Для выделенного элемента матрицы запишем алгебраическое дополнение = · .

j

j

i

↓

i

↓

Видим: все выделяемые миноры – определители треугольного вида, причём все элементы главной диагонали равны 1. В этом случае имеем: = . Если фиксировать столбец и передвигать полоску вниз в диапазоне , то легко заметить, что, знаки чередуются, начиная с минуса для положения полоски: . Это значит, что, перемещая полоску, мы рисуемстроки матрицы над главной диагональю.

4). Пусть : выделены элементы всего правого верхнего угла матрицы над главной диагональю. Вычисление алгебраических дополнений выделенных элементов начнём с рассматривания картинок:

j

→

j

→

i

i

Если фиксировать строку и передвигать полоску вправо в диапазоне , то легко заметить, что, знаки чередуются, начиная с минуса для положения полоски: . В то же время видим: все выделяемые миноры – определители треугольного вида, причём на главную диагональ при любом положении столбца попадает число 0. В этом случае имеем: =0 → =0. Это значит, что, перемещая полоску, мы рисуемстроки матрицы под главной диагональю: заполняя их нулями.

5). Учитывая результаты, полученные в пунктах 1÷ 4, можем записать обратную матрицу.

Способ- 2. Связку двух матриц будем моделировать матрицами размерности (5, 5): такие матрицы обеспечат и наглядность процесса вычисления матрицы , и обобщение для любой размерности .

1). Применим элементарные преобразования к связке матриц и :

= = (1) → = .

Выполнены операции: (1): [R4]–[R5]; [R3] –[R4]; [R2] –[R3]; [R1] –[R2].

2). Получена обратная матрица: в правой половине связки матриц.

Замечание: в рассмотренном примере Способ-2 значительно проще, чем Способ-1.

Ответ: А ^–1 = , матрица 5-го порядка вполне отражает матрицу для произвольного порядка.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Всегда ли возможно применение матрицы (A|Е) для вычисления обратной матрицы А^-1?

2. Как проверить правильность вычисления матрицы А^-1?

3. Как изменится обратная матрица А^-1, если в матрице (A|Е) матрица A будет транспонирована?

4. Всегда ли возможна запись матричного уравнения: AXB = C?

5. Какой вид имеет запись решения матричного уравнения: AXB = C?

6. Какой порядок действий, выполняемых при решении матричного уравнения AXB = C?

7. Возможно ли решение матричного уравнения AXB = C в случае, когда матрицы A и B вырожденные?

Задачи для самоподготовки:

Пример C11 – 1: Найти обратную матрицу для матрицы: .

Ответ: = .

Пример C11 – 2: Решить матричное уравнение: · X = , или: .

Ответ: = , где , , → произвольные числа.

Пример C11 – 3: Решить матричное уравнение: · X · = , или компактно: .

Ответ: = .

< * * * * * >