ЗАНЯТИЕ 13. Неоднородные системы уравнений. Решение системы уравнений методом Гаусса и по правилу Крамера.

☺ ☻ ☺

Пример 13 – 1: Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.

Решение:

1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:

Выполнены операции: (1): [R1]–[R2]; [R2]–[R3]·2; [R4]–[R3]; [R3]–[R1]. (2): [R4]+[R3]·3; [R1]+[R3]; поменяем местами строки [R2] и [R3]; [R3]+[R2]·7. (3): [R3]–[R4]. (4): раскрываем уравнения для вычислений.

2). Получены результаты: - система совместна;

- ранг системы равен 4 → решение системы единственно.

3). Из уравнения [R3] следует: =–2; далее из уравнения [R4]: =2; из уравнения [R2]: =3; из уравнения [R1]: =–1.

Ответ: (–1, 3, –2, 2).

Пример 13 – 2: Решить систему уравнений: методом Гаусса.

Решение:

1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:

Выполнены операции: (1): [R5]–[R4]; [R4]–[R3]; [R3]–[R2]; [R2]–[R1]. (2): [R5]–[R4]; [R4]–[R3]; [R3]–[R2]. (3): [R5]–[R4]; [R4]–[R3]; [R5]–[R4]. (4): [R4]–[R5]·4; [R3]–[R5]·6; [R2]–[R5]·4; [R1]–[R5]. (5): [R3]–[R4]·3; [R2]–[R4]·3; [R1]–[R4]; [R2]–[R3]·2; [R1]–[R3]; [R1]–[R2]. (6): раскрываем таблицу и вычисляем все неизвестные.

2). Получены результаты: - система совместна;

- ранг системы равен 5 → решение системы единственно.

3). Из уравнения [R4] следует: =–2; далее из уравнения [R2]: 5 =–5, откуда вычисляем: =–1; из уравнения [R3]: = , откуда вычисляем: =3; из уравнения [R5]: = , откуда вычисляем: =2.; из уравнения [R1]: = , откуда вычисляем: =0.

4). Читаем значения неизвестных: (, , , , )=(5, 4, 3, 2, 1).

Ответ: (, , , , ) =(5, 4, 3, 2, 1).

Пример 13 – 3: Решить систему уравнений: по правилу Крамера.

Решение:

1) Используя коэффициенты левой части заданной системы линейных уравнений, запишем определитель: = и вычислим его: =2.

2) Вычислим определители:

= =2, = =2, = =–2, = =–2.

3) Применяя формулы Крамера: , , получаем: = =1, = =–1.

Ответ: решение: (1, 1, –1, –1).

☻