Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
ЗАНЯТИЕ 12. Линейное пространство n-векторов. Линейная зависимость n-векторов. Определения ранга матрицы и его вычисление для совокупности векторов и матрицы.
|
|
☺ ☻ ☺
Пример 12 – 1: Найти вектор 
из уравнения: 
+2 
+3 
+4 =0, если =(5, -8, -1, 2), =(2, -1, 4, -3), =(-3, 2, -5, 4).
Решение:
1). Запишем уравнение в виде: –4 = +2 +3 = (5, -8, -1, 2) +2(2, -1, 4, -3) +3(-3, 2, -5, 4)=(0, -4, -8, 8).
2). Разделив полученное равенство на (-4), получим: = (0, 1, 2, -2).
Ответ: = (0, 1, 2, -2).
Пример 12 – 2: Найти ранг матрицы: 
методом окаймляющих миноров.
Решение:
1). Так как в матрице есть элементы не равные нулю, то ранг матрицы 
. Окаймление любого из них приводит к минору 2-го порядка.
2). Не равных нулю миноров 2-го порядка несколько. Это значит, что 
. Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу:
| -5 | |||||
| -7 | |||||
| -8 | |||||
| -5 | |||||
| -1 | -6 | ||||
3). Окаймляющие миноры будем обозначать: 
, где 
– указывает номер отмеченной для окаймления строки, – указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:
= 
=(–5) 
–(–7) 
+(–8) 
= m 1· (24) – h 1· (8) + g 1· (–8) =
=(–5)·(24)–(–7)·(8)+(–8)·(–8)=0;
Замечание: параметры: m 1, h 1, g 1 изменяются при переходе к минорам 
, 
числа: (7), (–14), (–7) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!
= 
= m 2· (24) – h 2· (8) + g 2· (–8) = 3·(24)–6·(8)+3·(–8)=0;
= 
= m 3· (24) – h 3· (8) + g 3· (–8) = 4·(24)–8·(8)+4·(–8)=0;
= 
=(–5) 
–(–7) 
+ 
= m 1· (–24) – h 1· (–16) + g 1· (–8) =
=(–5)·(–24)–(–7)·(–16)+1·(–8)=0;
Замечание: параметры: m 1, h 1, g 1 изменяются при переходе к минору 
, 
числа: (–24), (–16), (–8) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!
= 
= m 2· (–24) – h 2· (–16) + g 2· (–8) =3·(–24)–6·(–16)+3·(–8)=0.
= 
= m 3· (–24) – h 3· (–16) + g 3· (–8) =4·(–24)–8·(–16)+4·(–8)=0.
= 
=(–5) 
–(–7) 
+(–1) = m 1· (–32) – h 1· (–24) + g 1· (–8) =
=(–5)·(–32)–(–7)·(–24)+(–1)·(–8)=0;
Замечание: параметры: m 1, h 1, g 1 изменяются при переходе к минору 
, 
числа: (–28), (–24), (–8) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!
= 
= m 2· (–32) – h 2· (–24) + g 2· (–8) = 3·(–32)–6·(–24)+6·(–8)=0.
= = m 3· (–32) – h 3· (–24) + g 3· (–8) = 4·(–32)–8·(–24)+8·(–8)=0.
4). Так как все окаймляющие миноры 3-го порядка равны нулю, то 
.
Ответ: 
= 2.
Пример 12 – 3: Найти ранг матрицы: 
= 
при помощи элементарных преобразований.
Решение:
1). Применим элементарные преобразования к заданной матрице:
= (1) → 
= (2) → 
= (3) → 
= (4) → 
.
Операции: (1): [R4]–[R1]; [R3]–[R2]; [R2]–[R1]·3; [R1] делим на число 25. (2): при помощи числа 1 обнуляем остальные элементы [R1]. (3): [R4]–[R2]; [R4]–[R3]. (4): при помощи числа 1 обнуляем остальные элементы [R2] и [R3].
2). Видим (!): ранг матрицы равен 3.
Ответ: = 3.
Пример 12 – 4: Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой: 
= (2, –3, 1); 
= (3, –1, 5); 
= (1, –4, 3).
Решение:
Способ- 1:
1). Запишем систему векторов в виде матрицы и применим к ней любой из способов вычисления ранга: = 
.
2). Преобразуем матрицу при помощи элементарных преобразований.
= (1) → 
= (2) → 
= (3) → 
= (4) → .
Операции: (1): [R2]+[R1]·2; [R1]–[R3]; [R3]–[R2]. (2): [R3] делим на 5; [R3]+[R1]·3; [C4]–[C2]; при помощи 1 обнуляем элементы [C3]. (3): [R2]–[R1]; [R2] делим на 7. (3): [R1]+[R2]·2.
3). Видим: =3. Это значит, что система векторов независима.
Способ- 2:
1). Если векторы: , x 2, x 3 зависимы, то среди чисел 
, 
, 
найдется хотя бы одно не равное нулю в выражении: 
+ 
+ 
= 0.
2). Учитывая операции умножения вектора на число, суммы векторов и равенства векторов, получим систему однородных уравнений:
3). Определитель этой системы: d= 
= 3≠ 0 → система имеет единственное нулевое решение. Это значит: векторы x 1, x 2, x 3 независимы.
Ответ: система векторов независима.
☻
Вопросы для самопроверки:
1. Что такое n - мерный вектор с действительными компонентами?
2. Что такое n - вектор?
3. Как определяется сумма и разность n - векторов?
4. Каково определяющее свойство противоположного n - вектора?
5. Что значит умножить n - вектор на число k?
6. Что такое линейная комбинация n - векторов?
7. Как определяют линейную зависимость (независимость) n - векторов?
8. Что значит системы n - векторов эквивалентны?
9. Что значит система n - векторов максимальная?
10. Всякие две эквивалентные линейно независимые системы векторов в n - мерном пространстве содержат равное число векторов?
11. Почему любые две максимальные линейно независимые системы n - мерных векторов n - мерного пространства состоят из одного и того же числа векторов?
12. Почему всякие эквивалентные линейно независимые системы векторов содержат равное число векторов?
13. Имеем систему, состоящую из восьми 5-мерныз векторов. Может ли эта система быть зависимой?
14. Имеем систему, содержащую два нулевых вектора. Может ли эта система быть зависимой?
15. Что такое ранг системы векторов?
16. Что такое ранг матрицы?
17. Как вычисляют ранг системы векторов?
18. Как вычисляют ранг матрицы?
19. Возможно ли методом элементарных преобразований выделить в системе векторов максимальную линейно независимую подсистему векторов?
20. Почему элементарные преобразования матрицы не меняют ранга матрицы?
21. В прямоугольной матрице 5 строк и 9 столбцов. Какому из чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 может быть равен ранг матрицы?
22. Число независимых столбцов матрицы равно числу независимых строк. Почему?
23. В прямоугольной матрице 5 строк и 9 столбцов. Какое максимальное число окаймляющих миноров придется вычислить при нахождении ранга матрицы
Задачи для самоподготовки:
Пример C12 – 1: Найти вектор из уравнения: 3( – )+2( + )=2( + ), если имеем векторы =(2, 5, 1, 3), =(10, 1, 5, 10), =(4, 1, -1, 1).
Ответ: = (1, 2, 3, 4).
Пример C12 – 2: Найти ранг матрицы: 
методом окаймляющих миноров.
Ответ: = 3.
Пример C12 – 3: Найти ранг матрицы: = 
при помощи элементарных преобразований.
Ответ: = 3.
Пример C12 – 4: Найти ранг матрицы: = 
при помощи элементарных преобразований.
Ответ: = 2.
Пример C12 – 5: Найти значения 
, при которых матрица: 
имеет наименьший ранг.
Ответ: =0.
Пример C12 – 6: Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой: = (5, 4, 3); = (3, 3, 2); = (8, 1, 3).
Ответ: = (1, 2, 3, 4).
< * * * * * >