Собственные значения и собственные вектора матрицы состояния

Рассмотрим однородную систему уравнений (свободное движение системы)

, (2)

где - матрица размером , составленная из непрерывных функций.

Если - матрица размера , элементы которой непрерывные функции времени, определённые на интервале , то имеет место единственное решение системы (2), которое определено на интервале и принимает значение при .

Рассмотрим стационарный случай.

Будем искать решение однородного уравнения в виде: ,

где – вектор, l – скаляр, .

Поскольку , то из (2) находим .

Это уравнение можно записать в виде , (3),

где I – единичная матрица.

В скалярной форме выражение (3) записывается в виде:

(4)

Последняя зависимость представляет собой линейную однородную систему алгебраических уравнений. Необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения является равенство нулю определителя системы (4)

, или в матричной форме det , (5)

где (6)

Полученноеуравнение (6) называется характеристическим, а корни называются собственными значениями матрицы (или собственными числами).

Пусть характеристическое уравнение решено и найдены собственные различные значения .

Подставляя поочередно и решая однородную систему алгебраических уравнений находим .

В развернутом виде имеем (7)

Решив систему (7), получим следующие векторы

(8)

Каждый вектор , не обращающийся в нуль и удовлетворяющий уравнению , называется собственным вектором квадратной матрицы , принадлежащим собственному значению .

Поскольку главный определитель системы (5) равен нулю, собственные векторы определяются не однозначно, а с точностью до постоянного множителя.

Для матрицы с n отличными друг от друга собственными значениями существует точно n собственных векторов.

Решения уравнения (2), соответствующие корням l₁, l₂,..., l _n, имеют вид:

…………….. .