Вычисление фундаментальной матрицы

Для уравнений (1) с постоянными матрицами , , , в отличие от нестационарных систем всегда можно получить аналитические выражения для системных характеристик.

Рассмотрим основные способы определения экспоненциальной матрицы:

· Разложение в ряд

. (15)

Простой и удобный способ вычисления матричной экспоненты в случае быстрой сходимости ряда. В современных программных средах (Matlab) вычисление матричных функций обеспечивается с помощью встроенных типовых процедур.

· Разложение в ряд с использованием теоремы Кэли–Гамильтона;

Теорема Кэли–Гамильтона позволяет ограничиться конечным числом членов ряда при вычислении матричной экспоненты. Согласно теореме матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению

,

т.е. справедливо тождество , (16)

из которого следует, что n -я степень матрицы, а с ней и все старшие степени выражаются через алгебраическую сумму степеней матрицы от нуля до -й. Поэтому матричную экспоненту можно представить в виде интерполяционного полинома

(17)

Неизвестные коэффициенты , определяются из системы уравнений, которые получаются подстановкой в выражение (17) вместо матрицы ее собственных значений , . Если все корни характеристического уравнения разные, то получим линейно независимых уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов ,

(18)

Если же среди корней характеристического уравнения окажутся кратные, то число уравнений будет меньше числа .

Недостающие уравнения получают из соотношения:

где — корень кратности .

· Разложение в ряд с использованием теоремы Сильвестра.

Если все корни характеристического уравнения различны, то матричная экспонента вычисляется по формуле

(19).

· Разложение в ряд с использованием интерполяционного многочлена Лагранжа – Сильвестра.

Матричный экспоненциал можно представить в виде ,

где l _i – собственные значения матрицы A; F_i – функции .

Воспользуемся формулой Сильвестра . Пусть:

1). – квадратная матрица порядка n и L – ее спектр;

2). P (A) – функция от матрицы – многочлен вида ;

3). ¦(A) – некоторая функция от .

Многочлен P (A) называется интерполяционным многочленом Лагранжа – Сильвестра для ¦(A) на L, если P (A) = ¦(A) на L.

Функции от матрицы P (A) и ¦(A) равны на L, если

,

где l _i – элемент множества L, имеющий кратность K_i.

· Вычисление оригинала обратной матрицы

Использование преобразования Лапласа позволяет предложить еще один способ вычисления матричной экспоненты. Матрица перехода будет вычисляться как оригинал обратной матрицы

(20)

где через обозначено обратное преобразование Лапласа. Заметим, что при этом нет необходимости вычисления интерполяционного полинома, но добавляется задача обращения полиномиальной матрицы и вычисления оригинала.

Для проведения расчетов необходимо иметь алгоритм расчета матрицы .

Пусть – квадратная матрица.

называют алгебраическим дополнением или адъюнктом к элементу , – дополнительным минором элемента ; он равен детерминанту матрицы порядка n -1, получаемой после вычеркивания из матрицы A i -ой строки и j -го столбца.

Заменим каждый элемент в матрице A его алгебраическим дополнением и полученную матрицу транспонируем, т.е. . Получившаяся в результате матрица называется присоединенной и обозначается ( или ).

Для рассматриваемого случая формула для обратной матрицы имеет вид

, где – присоединенная матрица;

det(s I – A) – определитель матрицы (s I – A).

· Вычисление обратной матрицы методом Фаддеева–Леверье.

В соответствии с этим методом имеет место соотношение

, где

Коэффициенты и рассчитываются по следующему алгоритму:

, где — след матрицы .

Пример 1. Определить собственные числа и собственные вектора матрицы A.

.

Запишем характеристическое уравнение

Отсюда l₁ = 5, l₂ = – 1 – собственные значения матрицы A.

Найдем собственные векторы.

, тогда – 4a₁₁ + 2a₁₂ = 0, отсюда .

, тогда 2a₁₂ + 2a₂₂ = 0, a₁₂ = – a₂₂.

Собственные векторы, принадлежащие собственным значениям матрицы A: , .

Общее решение имеет вид .

Пример 2. Определить фундаментальную матрицу динамической системы с использованием теоремы Кэли–Гамильтона, .

Дифференциальное уравнение системы имеет вид: .

В таком виде часто записывают уравнения двигателя постоянного тока, когда пренебрегают индуктивностью якорной цепи.

Выбирая в качестве переменных состояния координаты положения и скорости

для матриц , , , получим следующее описание:

; ; ;

Вычислим матричную экспоненту по теореме Кэли–Гамильтона в виде интерполяционного полинома для системы порядка

Коэффициенты и найдем, решая систему уравнений .

Корни характеристического уравнения найдем, раскрывая определитель

.

Искомые коэффициенты интерполяционного полинома , тогда

.

После выполнения вычислений целесообразно проверить, что при матричная экспонента соответствует единичной матрице.

Определим матрицу перехода с использованием :

Если , то .

Вычисляя оригиналы элементов обратной матрицы, найдем матрицу перехода

,

что совпадает с результатом, полученным на основании теорем Кэли–Гамильтона.

Пример 3. Определить матричную экспоненту по методу Фаддеева–Леверье.

Рассмотрим систему где .

Имеем , тогда .

Вычислим .

В результате получим .

Пример 4. Определить матричную экспоненту, используя интерполяционную формулу Лагранжа–Сильвестра.

Рассмотрим систему где .

Основные этапы:

1. характеристический полином ;

2. собственные значения матрицы : ;

3. интерполяционный полином Лагранжа–Сильвестра ;

4. Коэффициенты и находятся из условия равенства на :

при ; ; при , т.е. .

Имеем , тогда .

Получаем .

Отсюда находим

II. Практическая часть

Порядок выполнения работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом.

2. Для заданной системы (вариант - лабораторная работа №1) определить собственные значения матрицы (собственные числа) матрицы А.

3. Определить собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А.

4. Вычислить матричную экспоненту, используя:

- разложение в ряд по теореме Кэли-Гамильтона;

- интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра;

- оригинал обратной матрицы

- вычисление обратной матрицы по методу Фаддеева–Леверье.

5. В пакете MATLAB найти и освоить функции вычисления детерминанта, собственных значений, собственных векторов матрицы , матричной экспоненты.

Литература

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

2. Математические основы теории автоматического регулирования: Учеб. пособие/ Под ред. Б.К. Чемоданова

3. Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Щульц М.М. MATLAB 7: Программирование, численные методы. – СПб.: БВХ – Петербург, 2005.