Фундаментальная и переходная матрица системы

Решения , соответствующие корням , линейно независимы.

Решения образуют фундаментальную систему.

Матрица размера называется фундаментальной матрицей системы тогда и только тогда, когда в её столбцах стоят n линейно независимых решений уравнения (2).

Определитель любой фундаментальной матрицы называют определителем Вронского. Определитель Вронского не обращается в нуль ни в одной точке интервала , и, следовательно, фундаментальная матрица при любом значении t является неособенной матрицей.

Поскольку определитель фундаментальной матрицы не обращается в нуль ни в одной точке, то при любом фиксированном существует обратная матрица и имеет смысл следующее определении:

Если какая-либо фундаментальная матрица уравнения (2), то

, (9)

для всех называется переходной матрицей уравнения (2),

или переходной матрицей, соответствующей матрице .

Заметим, что переходная матрица – это такая фундаментальная матрица, которая удовлетворяет начальному условию . Поэтому переходную матрицу можно определить как решение матричного дифференциального уравнения

.

Итак, для уравнения , существует и единственна переходная матрица такая, что решение можно записать в виде . Эта матрица обладает следующими свойствами:

1. при любом .

2. , - любая фундаментальная матрица уравнения (2).

3. , при любых ;

4. . Действительно

.

5. при любых , , .

6. Матрица удовлетворяет уравнению

.

Матрица перехода является системной характеристикой, имеющей важное теоретическое и прикладное значение. Она позволяет получить явные соотношения «вход–выход» для системы и тем самым найти решения основных задач управления во временной области.