Матричный экспоненциал.

Рассмотрим скалярных случай для однородного дифференциального уравнения первого порядка в форме Коши:

.

После применения преобразования Лапласа получим:

или .

Используя обратное преобразование Лапласа, получим:

.

По аналогии получим решение векторно-матричного уравнения:

или .

Оригинал вектора состояния системы, т.е. решение однородного векторно-матричного дифференциального уравнения имеет вид

(10)

Для вычисления вектора состояния необходимо определить матричную функцию , которая называется матричным экспоненциалом, экспоненциальной матрицей или матрициантом.

При работе с матричной экспонентой целесообразно пользоваться формулами:

1. Для диагональной матрицы матрициант тоже будет диагональной матрицей где — i -е собственное значение матрицы .

Выражение называют модой, связанной с собственным значением .

2. .

3. если (матрицы перестановочны).

4. .

5. .