![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Распределение ГиббсаСтр 1 из 5Следующая ⇒
1.1. Для математической формулировки «квантового микроканонического распределения» надо применить следующий прием. Имея в виду «почти непрерывность» энергетического спектра Макроскопических тел, введем понятие о числе квантовых состояний замкнутой системы, «приходящихся» на определенный бесконечно малый интервал значений ее энергии. Обозначим это число посредством Если рассматривать замкнутую систему как состоящую из подсистем, пренебрегая при этом взаимодействием последних, то каждое состояние системы в целом можно характеризовать заданием состояний всех отдельных подсистем, и число чисел Мы можем теперь сформулировать микроканоническое распределение, написав для вероятности
1.2. Будем рассматривать замкнутую систему в течение времени, большого по сравнению с ее временем релаксации; тем самым подразумевается, что система находится в полном статистическом равновесии. Проведем нижеследующие рассуждения для квантовой статистики. Разделив систему на большое число макроскопических частей (подсистем), будем рассматривать какую-либо одну из них. Пусть w n есть функция распределения этой подсистемы; для упрощения формул будем пока опускать у w n (и других величин) индекс, отличающий подсистемы. С помощью функции w n можно, в частности, вычислить распределение вероятностей для различных значений энергии E подсистемы. w n может быть написано как функция только от энергии w n = w (En). Для того чтобы получить вероятность w(E)dE подсистеме иметь энергию в интервале между Е и Е+dЕ, надо умножить w (Е) на число квантовых состояний с энергиями, лежащими в этом интервале. Обозначим посредством Г(E) число квантовых состояний с энергиями, меньшими и равными Е; тогда интересующее нас число состояний с энергией между Е и Е + dЕ можно написать в виде:
а распределение вероятностей по энергии будет:
W(E)
Условие нормировки Означает геометрически, что площадь, заключенная под кривой W=W(E), равна единице. Функция W (E) имеет чрезвычайный максимум на E=
Принимая во внимание выражение (1.1) можно переписать это определение в виде:
где
∆ Г=
есть число квантовых состояний, соответствующее интервалу ∆ Е значений энергии. Об определенной таким образом величине ∆ Г можно сказать, что она характеризует «степень размазанности» макроскопического состояния подсистемы по ее микроскопическим состояниям. Что же касается интервала ∆ E, то по порядку величины он совпадает со средней флуктуацией энергии подсистемы.
1.3. Привлечем микроканоническое распределение, согласно которому для описания статистических свойств замкнутой системы можно пользоваться функцией распределения вида (1).
Статистический вес ∆ Гα по самому своему определению есть функция от средней энергии Еа подсистемы; то же относится и к Sа = Sа(
где S=
Выделим из замкнутой системы интересующее нас тело и будем рассматривать систему как составленную из двух частей: из данного тела и всей остальной ее области, которую мы будем называть по отношению к телу «средой».
Микроканоническое распределение (1) напишется в виде:
где Наличие Нашей целью является нахождение вероятности Искомую вероятность
Пусть Г'(E') — полное число квантовых состояний среды с энергией, меньшей или равной Е'. Поскольку подынтегральное выражение зависит только от
Производную где Благодаря наличию Учтем теперь, что Но производная от энтропии Таким образом, получаем окончательно для
где Нормировочная постоянная
Среднее значение любой физической величины В классической статистике выражение, в точности соответствующее формуле (1.5), получается для функции распределения в фазовом пространстве: где На практике часто приходится иметь дело со случаями, когда квазиклассическим является не все микроскопическое движение частиц, а лишь движение, соответствующее части степеней свободы, в то время как по остальным степеням свободы движение является квантовым (так, например, может быть квазиклассическим поступательное движение молекул при квантовом характере внутримолекулярного движения атомов). В таком случае уровни энергии тела можно написать в виде функций от квазиклассических координат и импульсов: где Наконец, необходимо сделать следующее замечание по поводу круга вопросов, для решения которых можно применять распределение Гиббса. Мы все время говорили о последнем как о статистическом распределении для подсистемы, каковым оно в действительности и является. Весьма важно, однако, что это же распределение можно с полным успехом применять и для определения основных статистических свойств замкнутых тел. Действительно, такие свойства тела, как значения его термодинамических величин или распределения вероятностей для координат и скоростей отдельных его частиц, очевидно, не зависят от того, рассматриваем ли мы тело как замкнутое или как помещенное в воображаемый термостат. В последнем случае, однако, тело становится «подсистемой», и распределение Гиббса применимо к нему буквально. Отличие замкнутого тела от незамкнутого проявляется при применении распределения Гиббса по существу лишь при рассмотрении сравнительно мало интересного вопроса о флуктуациях полной энергии тела. Распределение Гиббса дает для средней флуктуации этой величины отличное от нуля значение, которое для тела, находящегося в среде, имеет реальный смысл, а для замкнутого тела — совершенно фиктивно, так как энергия такого тела по определению постоянна и не флуктуирует. Возможность применения (в указанном смысле) распределения Гиббса к замкнутым телам видна также и из того, что оно по существу очень слабо отличается от микроканонического (и в то же время несравненно удобнее для проведения конкретных расчетов). Действительно, микроканоническое распределение эквивалентно, грубо говоря, признанию равновероятными всех микросостояний тела, отвечающих заданному значению его энергии. Каноническое же распределение “размазано” по некоторому интервалу значений энергии, ширина которого (порядка величины средней флуктуации энергии), однако, для макроскопического тела ничтожно мала.
|