Задача №2. Условие задачи: определить передаточную функцию разомкнутой и замкнутойСАУ, при необходимости использовать правила переноса узлов; преобразовать разомкнутую

Условие задачи: определить передаточную функцию разомкнутой и замкнутой САУ, при необходимости использовать правила переноса узлов; преобразовать разомкнутую систему к последовательному соединению типовых элементарных звеньев; определить типы элементарных звеньев, входящих в состав преобразованной разомкнутой САУ.

Разомкнутая система (система без общей обратной связи) представляет собой параллельное соединение первого элемента, последовательного соединения второго элемента с третьим элементом, охваченным единичной положительной обратной связью, и единичного элемента.

Передаточная функция разомкнутой системы в соответствии с определенными типами соединений элементов будет иметь вид:

Подставим полученные передаточные функции в формулу передаточной функции разомкнутой системы:

Передаточная функция замкнутой системы с учетом общей единичной обратной связи определяется с использованием формулы следующего вида:

Автоматизировать эквивалентные преобразования моделей САУ можно с использованием Mathcad.

Упростим данное выражение с помощью специального символьного оператора Factor (Разложить на множители), который необходимо ввести с панели инструментов Symbolic (Символика или Символьные).

В числителе многочлен высокой степени. В этом случае прибегают к разложению через корни. Для этого сначала необходимо вынести за скобки коэффициент слагаемого с максимальной n -ой степенью – обеспечить так называемый приведенный вид многочлена.

Как известно, любое уравнение n -го порядка приведенного вида xⁿ + a ₁ x^{n -1}+…+ a_n =0 имеет n корней. Корни могут быть действительными и комплексными, и, если они известны, то приведенный многочлен n -го порядка раскладывается на множители вида:

(x - k ₁)(x - k ₂)…(x - k_n),

где k ₁, k ₂… k_n – корни многочлена.

Реализация данного вида разложения также может быть выполнена с использованием Mathcad.

1. Запишем многочлен и введем с панели инструментов Symbolic (Символика) оператор Solve (Решить). Ответ будет выдан в виде вектора.

2. Запишем разложение по корням

Упрощенное выражение требует дальнейшей модификации. То есть, для определения параметров звеньев (постоянных времени и коэффициента усиления), входящих в состав приведенного последовательного соединения, необходимо, чтобы свободное слагаемое в скобках многочленов первого порядка было равно 1. Произведем требуемые преобразования вынося за скобки множитель, равный значению свободного слагаемого, если это значение отлично от единицы.

Конечный вид выражения позволяет определить параметры типовых элементарных звеньев, входящих в состав последовательного соединения эквивалентной разомкнутой САУ. В состав соединения входят

-дифференцирующее звено первого порядка с постоянной времени 1.87 сек;

-дифференцирующее звено первого порядка с постоянной времени 0.132 сек;

-дифференцирующее звено первого порядка с постоянной времени 0.313 сек;

-апериодическое устойчивое звено первого порядка с постоянной времени 0.5сек;

-апериодическое устойчивое звено первого порядка с постоянной времени 0.16 сек;

-идеальное интегрирующее звено.

Общий коэффициент статического преобразования (усиления) разомкнутой САУ составляет 1.04.