Задача №3. Условие задачи: построить амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) разомкнутой системы; рассчитать и построить логарифмические амплитудно-частотную (ЛАЧХ) и

Условие задачи: построить амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) разомкнутой системы; рассчитать и построить логарифмические амплитудно-частотную (ЛАЧХ) и фазочастотную (ЛФЧХ) характеристики разомкнутой САУ, приведенной к последовательному соединению типовых элементарных звеньев.

Одной из основных характеристик САУ для режима стационарных колебаний является амплитудно-фазовая характеристика (АФХ), являющаяся функцией комплексной частоты j w. Выражение для расчета АФХ получают из выражения передаточной функции заменой р на комплексную переменную j.

АФХ определяет изменение амплитуды и фазы выходной величины САУ или элемента при приложении на входе гармонического воздействия. А () – модуль (амплитуда) АФХ, равен отношению амплитуд выходного сигнала к входному, а () – аргумент (фаза), равны сдвигу фаз выходного сигнала относительно входного. Значение АФХ, рассчитанное для конкретного значения частоты входного сигнала, показывает, во сколько раз амплитуда выходного сигнала САУ будет отличаться от амплитуды входного сигнала данной частоты и на сколько по фазе выходной сигнал будет сдвинут относительно входного.

Передаточная функция разомкнутой системы, приведенная к последовательному соединению типовых элементарных звеньев, имеет вид:

Для построения АФХ используется частотная передаточная функция системы, получаемая подстановкой в формулу передаточной функции комплексной частоты jw вместо переменной Лапласа p:

АФХ строится для значений частоты входного сигнала w от 0 до +¥. Введем формулу для расчета АФХ и диапазон изменения аргумента (частоты w) в Mathcad.

При построении АФХ, которая является функцией комплексной переменной и строится в комплексной плоскости, по горизонтальной оси следует откладывать значения действительной части W (w), а по вертикальной оси – мнимой, рассчитываемых для заданных значений частоты. В Mathcad этот расчет можно выполнить с использованием встроенных функций Re(W (w)) и Im(W (w)). Результат построения графика АФХ для разомкнутой системы имеет вид:

АФХ одновременно определяет изменения и амплитуды и фазы выходного сигнала САУ относительно входного. На практике удобнее анализировать отдельно изменения амплитуд сигналов и сдвиги фаз, вносимые САУ на различных частотах и строить отдельно логарифмическую амплитудно-частотную lg A (w) и логарифмическую фазочастотную j(w) характеристики САУ или звена. При построении логарифмической амплитудно-частотной (ЛАЧХ) и логарифмической фазочастотной характеристики (ЛФЧХ) по оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе. Отрезок логарифмической шкалы, соответствующий увеличению частоты в десять раз, называется декадой. По оси ординат откладывается значения ЛАЧХ в децибелах или значения ЛФЧХ в градусах. Для этой цели на ось ординат наносится равномерный масштаб.

Выражение для расчета ЛАЧХ в децибелах имеет вид:

L()=20lg A ().

Введем в рабочем поле Mathcad формулы расчета логарифмической амплитудно-частотной (ЛАЧХ) и логарифмической фазочастотной (ЛФЧХ) характеристик разомкнутой САУ, а также диапазон изменения аргумента – частоты w.

Для построения графика ЛАЧХ укажем в шаблоне построения в месте ввода по горизонтальной оси имя аргумента – w, а в месте ввода по вертикальной оси – имя функции L (w). При построении графиков по умолчанию Mathcad назначает равномерный масштаб по обеим осям. Однако, ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ принято строить в полулогарифмическом формате: значения частоты w на горизонтальной оси откладывают в логарифмическом формате, а значения L (w) по горизонтальной – в равномерном масштабе. Отредактируем график – назначим логарифмический масштаб по оси частот и вывод линий координатной сетки. Для этого, вызвав в поле построения графика щелчком правой кнопки мыши меню и выбрав пункт Format (Формат) в закладке XY-Axes (XY-оси) установим флажки построения сетки для обеих осей Grid lines (Сетка), пересечения координатных осей Crossed (Пересеченные) и флажок вывода логарифмического масштаба по оси Х – Log Scale (Журнал). Результат построения ЛАЧХ для разомкнутой системы имеет вид:

Аналогично, построим и отредактируем график ЛФЧХ для разомкнутой САУ.