Задача №7. Условие задачи: подтвердить результат оценки устойчивости построением переходного процесса замкнутойСАУ в программе моделирования систем автоматического

Условие задачи: подтвердить результат оценки устойчивости построением переходного процесса замкнутой САУ в программе моделирования систем автоматического управления tau.exe.

Передаточная функция замкнутой системы с учетом общей единичной отрицательной обратной связи определяется как

Подставим передаточную функцию разомкнутой системы W_p (p), полученную в результате решения Задачи №2, в приведенную формулу и выполним эквивалентные преобразования передаточной функции замкнутой системы с использованием Mathcad для преобразования ее к последовательному соединению типовых элементарных звеньев.

Решение:

1. Введем в рабочем поле Mathcad передаточную функцию замкнутой системы и применим символьный оператор Factor (Разложить на множители и привести к общему знаменателю).

2. Для идентификации типов элементарных звеньев, входящих в состав последовательного соединения, эквивалентного замкнутой САУ, знаменатель полученного выражения нужно разложить на множители нулевого, первого и/или второго порядков. В данном случае выполнить это автоматически не удалось, поэтому используем разложение через корни многочлена. Как известно, уравнение n -го порядка вида xⁿ + a ₁ x^{n -1}+…+ a_n =0 имеет n корней. Корни могут быть действительными и комплексными, и, если они известны, то приведенный многочлен n -го порядка раскладывается на множители вида (x - k ₁)(x - k ₂)…(x - k_n), где k₁, k₂ … k_n – корни многочлена. Для реализации расчета в Mathcad сначала необходимо вынести за скобки коэффициент слагаемого с максимальной n -ой степенью – обеспечить так называемый приведенный вид многочлена. Вынесем в знаменателе число 5.0109799e7 за скобки, чтобы обеспечить приведенный вид знаменателя, и выполним поиск корней многочлена знаменателя в Mathcad при помощи символьного оператора Solve (Решить).

3. Введем в рабочем поле Mathcad вид передаточной функции замкнутой САУ W_з (p) с разложением знаменателя на множители с использованием найденных корней многочлена.

4. Выражение требует дальнейшей модификации. Т. е., для определения параметров звеньев (постоянных времени и коэффициента усиления), входящих в состав приведенного последовательного соединения, необходимо, чтобы свободное слагаемое в скобках многочленов было равно 1. Для достижения этого отредактируем полученное выражение.

Т. о., передаточную функцию замкнутой САУ можно представить эквивалентным последовательным соединением:

-дифференцирующего звена первого порядка с постоянной времени 1.9 сек;

-дифференцирующего звена первого порядка с постоянной времени 0.13 сек;

-дифференцирующего звена первого порядка с постоянной времени 0.31 сек;

-апериодического устойчивого звена первого порядка с постоянной времени 0.15 сек;

-апериодического неустойчивого звена первого порядка с постоянной времени 2.9 сек;

-апериодического устойчивого звена первого порядка с постоянной времени 0.36 сек;

Общий коэффициент усиления замкнутой САУ (коэффициент статического преобразования) равен 1. Реализуем схему эквивалентного последовательного соединения в программе tau.exe, зададим параметры звеньев и построим переходной процесс замкнутой САУ как реакцию на ступенчатое входное воздействие.

Как видно, переходной процесс замкнутой САУ подтверждает ее неустойчивость: процесс не заканчивается.