Однородные и неоднородные системы

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены

равны нулю: (1)

Однородная система всегда совместна, т.к. х ₁ = х ₂ = … = х_n = 0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Однородная система неопределенна тогда и только тогда, когда r (A) < n.

Положим r = r (A). Пусть общее решение системы (1) записано в виде

X = ,

где х ₁, …, х_r – главные переменные, t ₁, …, t_n–r – значения свободных переменных

х_{r +1}, …, х_n. Если свободным переменным придать какие-либо конкретные значения (они уже не станут переменными!), то получим систему из r уравнений с r неизвестными (х ₁, х ₂ , …, х_r), ранг которой равен r. Значит, она имеет единственное решение.

Выберем n – r решений системы (1), полученных из общего решения следующим образом: одно из значений свободных переменных полагается равным 1, а остальные – равными 0 (т.е. по следующей схеме ):

X ₁ = , X ₂ = , …, X_{n - r} = . (3)

Эти решения образуют нормальную фундаментальную систему решений однородной системы (1). Они обладают следующим свойством: любое решение Х системы (1) может быть единственным образом представлено в виде:

Х = α ₁ Х ₁ + … + α _{n – r} Х_{n – r},

где α ₁, … α _{n – r} – некоторые числа.

Любой набор из n – r решений системы (1), обладающих указанным свойством, называется фундаментальной системой решений (ФСР) системы (1).

Если в системе (1) не все свободные члены равны нулю, то такая система называется неоднородной.

Пусть дана некоторая неоднородная система линейных уравнений

АХ = В, (4)

а АХ = 0 (система (1)) – соответствующая ей однородная система. Общее решение системы (4) может быть представлено в виде суммы общего решения системы (1) и какого-то одного (частного) решения системы (4).