Пример выполнения задачи 7

Пример 1. Пусть зависимость между переменными X и Y имеет вид . Найти оценки параметров по следующей выборке:

Решение. Обозначим за – рассогласование между опытными данными и теоретической кривой () на i-ом шаге измерения. Опытные данные – , соответствующие – берутся из таблицы. Теоретические значения, соответствующие тем же , находятся из уравнения . Тогда .

Коэффициенты должны быть такими, чтобы рассогласования были минимальными. Чтобы избежать взаимного сокращения рассогласований из-за их противоположных знаков, будем оперировать величинами . Что бы минимизировать их все сразу (в совокупности) составим функционал (n=5):

.

Чтобы минимизировать данный функционал по неизвестным , составим систему уравнений:

;

.

Решение системы и – и есть искомые оценки. Частную производную по возьмем как производную сложной функции, считая в выражении константами ; используем свойство производной суммы.

.

Рассуждая аналогично, получим:

.

Приравняем эти уравнения к нулю, раскроем скобки и перенесем свободные члены (слагаемые, не зависящие от неизвестных ) в правую часть.

что после преобразования даст:

()

Для нахождения коэффициентов системы построим расчетную таблицу.

				0, 15
				2, 4	2, 4
				10, 2	40, 8
				22, 3	200, 7
				40, 2	643, 2
				75, 25	887, 1

Тогда () имеет вид:

Так как 30: 5 = 6, умножим первое уравнение на 6 и вычтем из второго.

Таким образом, искомая зависимость имеет вид:

.

Варианты задачи 7

1. Считая, что зависимость между переменными X и Y имеет вид . Найти оценки параметров по следующей выборке:

2. По данным задачи 1 определить коэффициент корреляции и интервальную оценку для коэффициента корреляции при =0, 99.

3. Считая, что зависимость между переменными X и Y имеет вид . Найти оценки параметров по следующей выборке:

4. По данным задачи 3 определить коэффициент корреляции и интервальную оценку для коэффициента корреляции при =0, 95.

5. Считая, что зависимость между переменными X и Y имеет вид . Найти оценки параметров и по следующей выборке:

6. По данным задачи 5 определить коэффициент корреляции и интервальную оценку для коэффициента корреляции при =0, 95.

7. Считая, что зависимость между переменными X и Y имеет вид . Найти оценки параметров и по следующей выборке:

8. По данным задачи 7 определить коэффициент корреляции и интервальную оценку для коэффициента корреляции при =0, 95.

9. Найти оценки параметров и считая, что зависимость между переменными Х и Y имеет вид

10. Найти оценки параметров и считая, что зависимость между переменными Х и Y имеет вид

11. По данным задачи 10 найти интервальную оценку для коэффициента корреляции при =0, 95.

12. Найти оценки параметров и считая, что зависимость между переменными Х и Y имеет вид

13. Найти оценки параметров и считая, что зависимость между переменными Х и Y имеет вид

14. По данным задачи 13 найти интервальную оценку для коэффициента корреляции при =0, 95.

15. Найти оценки параметров и считая, что зависимость между переменными Х и Y имеет вид

16. По данным задачи 15 найти интервальную оценку для коэффициента корреляции при =0, 99.

17. Найти оценки параметров и считая, что зависимость между переменными Х и Y имеет вид

18. По данным задачи 20 найти интервальную оценку для коэффициента корреляции при =0, 99.

19. Найти оценки параметров и считая, что зависимость между переменными Х и Y имеет вид

20. По данным задачи 19 найти интервальную оценку для коэффициента корреляции при =0, 99.