Розв’язаня прямої задачі

Розглянемо розв’язання прямої задачі, виділивши три етапи розв’язання:

– визначення рівнянь зв’язку положення робочого органу маніпулятора з величинами узагальнених координат;

– визначення швидкості руху робочого органу як функції узагальнених координат і їх швидкостей;

– знаходження прискорення робочого органу як функції узагальнених координат, їх швидкостей та прискорень.

Для розв’язання прямої задачі зв’яжемо з основою робота систему координат 0₀x₀y₀z₀, котра збігається з абсолютною системою, якщо основа нерухома, як на рисунку.1.; з першою ланкою систему 0xyz, положення якої визначається координатою першої ступеня рухомості; із другою – 0₁x₁y₁z₁, положення якої відносно 0xyz, визначається другим ступенем рухомості і т.д.

Якщо деяку точку С у системі координат, зв’язаній з (і + 1)–ою ланкою, представити у вигляді радіус–вектора С_і+1, то між цим вектором та вектором С_і, що являє собою цю точку у системі координат, зв’язаній з і-тою ланкою, існує зв’язок

С_і = Т_(і+1)і× С_і+1,

де Т_(і+1)і – матриця перетворень координат із системи 0_i+1x_i+1y_i+1z_i+1 до системи 0_ix_iy_iz_i.

Матриці перетворення для рухів кінематичних пар V класу можуть бути записані в такому виді:

– для обертання навколо осі 0х: ;

– для обертання навколо осі 0у: ;

– для обертання навколо осі 0z: ;

– для лінійного переміщення вздовж осі 0х: ;

– для лінійного переміщення вздовж осі 0у: ;

– для лінійного переміщення вздовж осі 0z: .

Знаючи положення робочого органу С_n у системі координат 0_nx_ny_nz_n, що зв’язана з ним, можна знайти його положення С₀ у абсолютній системі координат, яка зв’язана з основою робота або прив’язана до цехової системи координат за допомогою перетворення:

С₀ = Т₁₀Т₂₁…T_n(n–1)С_n

Для будь-якої точки, заданої у і-й системі координат радіус-вектором R_і, цей вираз можна переписати у вигляді

R₀ = Г_іR_і,

де Г_і – Т₁₀Т₂₁…Т_і(і–1) – матриця перетворення і-тої ланки, що описує її положення у системі координат 0₀x₀y₀z₀.