![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Модель диэлектрического континуума
Для полярных колебаний кристаллов, при которых возникает поляризация среды P и продольное электрическое поле E, уравнения для колебаний нанокристалла можно получить, используя классическую макроскопическую модель с учетом уравнений Максвелла. Такая модель рассматривалась в работе Клейна и была применена для полупроводниковых нанокристаллов CdSe сферической формы. Смысл такой модели понятен из рис. 82. Рассмотрим полупроводниковую сферу радиуса R с диэлектрической постоянной ε, окруженную веществом с диэлектрической проницаемостью ε d.
Рис. 82. Схематическое изображение локализованного фонона и граничных условий для смещений u (r)и потенциала ф (r)в модели диэлектрического континуума.
Используем следующие уравнения:
где D, E, P, и φ соответственно электрическое смещение, электрическое поле, поляризация и потенциал. Из этих уравнений получаем:
Существуют два типа решений этого уравнения. Первое соответствует ε = 0. Для диэлектрической проницаемости можно написать выражение:
где ε ∞ диэлектрическая постоянная при высоких частотах, w LO и w TO – собственные частоты, удовлетворяющие соотношению Лиддейна-Сакса-Теллера:
где ε 0 – стационарная диэлектрическая постоянная. Случай, когда ε =0 соответствует LO модам собственной частоты w LO. Собственные функции могущт быть разложены по ортонормированному базису
Обратное преобразование имеет вид:
Граничными условиями будут непрерывность φ и нормальной компоненты вектора D на границе раздела, т.е. для LO фононов φ будет уменьшаться до нуля на границе раздела, и вне сферы будет равняться нулю. Возможные решения отвечают таким k, для которых при любых l, m выполнено равенство
Jl (k, R) =0.
Эти k зависят от l и определяются соотношениями
k=an, l /R,
где an, l – n -ый нуль сферической функции Бесселя порядка l. Используя выражение Jl (k, R) =0, получаем выражение для константы Bk При l =0 она будет равна
где k=nπ /R (n =1, 2, 3…). Это рассмотрение в силу нулевых смещений на границе соответствуют случаю механического конфаймента. Решение уравнения ε Dφ =0, соответствующее e = 0, является наиболее общим описанием механического конфайнмента, где используется разложение потенциала по сферическим гармоникам и нулевые смещения на интерфейсе. Однако существует и другое решение уравнения ε Dφ =0, отвечающее условию Df =0. Оно возникает в приближении диэлектрического континуума только для полярных мод, которые вызывают появление макроскопического поля. Данное уравнение дает поверхностные SO (или интерфейсные IF) моды. Возможные решения имеют вид:
Граничные условия, вытекающие из равенства нормальных составляющих электрического смещения D в двух средах, приводят к соотношению ε grad (φ) = const, и имеют вид:
Дискретные частоты SO мод в приближении диэлектрического континуума для кристалла CdSe с использованием известных значений ed, e∞ , w LO, w TO приведены в табл. 9.
Рис. 83. Схематическое построение контура линии фундаментального колебания нанокристаллов CdSe с использованием модели диэлектрического конфайнмента. Таблица 9. Частоты поверхностных (интерфейсных) мод в нанокристаллах CdSe в стеклянной матрице в см–1.
Из таблицы видно, что с изменением l (l= 1, 2, 3…) значения собственных частот SO мод пробегают интервал от 194 до 200 см–1. Значения интерфейсных мод также можно получить, рассматривая, как и сверхрешетке среднюю диэлектрическую проницаемость среды, представляющей нанокросталлы полупроводника в стеклянной матрице. Выражение для диэлектрической проницаемости такой структуры легко получить, используя уравнения Рытова для слоевой среды, которые описывают полярные колебания гетероструктуры в приближении диэлектрического континуума. Для бесконечной среды, состоящей из чередующихся слоев толщины d 1 и d 2 с диэлектрической проницаемостью e 1 и e 2, решения этих уравнений приводит к следующим выражениям. Эффективная усредненная диэлектрическая постоянная в плоскости слоев e x, y и в направлении, перпендикулярном слоям e z, равна:
ex, y=d– 1(d 1 e 1 +d 2 e 2) ez=de 1 e2 (d 1 e 2 +d2e 1) – 1, где d=d 1 +d 2. Для среды, состоящей из сферических нанокристаллов в стекловидной матрице, средняя диэлектрическая проницаемость равна:
где e0, e 1 – диэлектрические проницаемости матрицы и кристалла, а d 0, d 1– расстояние между кристаллическими включениями и их размер соответственно. Случай, когда диэлектрическая проницаемость среды равна нулю, возможен при равенстве нулю диэлектрических проницаемостей ε 0 или e 1 т. е. соответствует LO модам квантовых точек, так как LO моды матрицы в данной области частот отсутствуют. Диэлектрическая проницаемость равна бесконечности при выполнении условия
что отвечает TO модам, положение которых зависит от d 1/ d 0.
|