Средние величины

1.Сущность и виды средних величин.

Средние в статистике - это показатели, выражающие типичные размеры признака для данной совокупности. В них взаимопогашаются индивидуальные отклонения, присущие отдельным единицам и показываются значения признака, характерные для всей совокупности.

Для определения средних величин используются следующие формулы:

1) Средняя арифметическая простая ;

2) Средняя арифметическая взвешенная ;

3) Средняя гармоническая взвешенная .

Чтобы правильно определить среднюю величину признака, необходимо, прежде всего, понять сущность этого показателя, уяснить соотношение каких величин он выражает, что является исходной базой для расчета среднего значения данного признака.

Допустим, нам следует определить средний размер заработной платы. Исходной базой для расчета средней заработной платы будет служить соотношение:

фонд заработной платы

число рабочих

Если фонд заработной платы обозначим М, число рабочих через f, а среднюю заработную плату через , то

Выбор формулы для расчета средней величины зависит от имеющейся исходной информации.

Пример 1: Имеются следующие данные о заработной плате рабочих бригады

Обозначив заработную плату через x, фонд заработной платы (М) определим как сумму заработной платы всех 10 рабочих, тогда

,

где n – число значений x, равное числу рабочих бригады.

Следовательно, если каждое значение признака встречается один или одинаковое число раз, для расчета средней величины признака используется формула средней арифметической простой.

Пример 2: Имеются следующие данные:

Определить среднюю заработную плату рабочего по 2 бригадам.

Исходя из имеющихся данных фонд заработной платы по каждой бригаде определим путем умножения заработной платы одного рабочего (x) на число рабочих(f), а по двум бригадам вместе как сумму , тогда

д.е.

Если каждое значение признака встречается несколько раз, для расчета средней величины используется формула средней арифметической взвешенной.

Пример 3: Имеются следующие данные

Помня, что исходной формулой для расчета средней заработной платы является , выражаем f как .

Тогда д.е.

В данном случае расчет средней производим по формуле средней гармонической взвешенной.

.

2. Расчет средних по данным интервальных вариационных рядов

Если варьирующий признак представлен в виде интервала «от-до», в качестве конкретных вариантов признака принимаются середины интервалов. Ширина открытого интервала принимается равной ширине примыкающего.

Среднее значение признака определяется по формуле средней арифметической взвешенной: .

Расчеты обычно располагают в виде таблицы.

Пример 4: Имеются следующие данные о распределении рабочих по размеру заработной платы:

Заработная плата, (д.е.).	Число рабочих (f)	Середина интервала (x)
До 250 250 – 275 275 – 300 300 – 325 325 и более		237, 5 262, 5 287, 5 312, 5 337, 5	2375, 0 3937, 5 5175, 0 3750, 0 1687, 5
Итого

Серединное значение первого интервала равно 237, 5 ;

второго - 262, 5 и т. д.

д.е.

Свойства средней арифметической взвешенной.

1. Если все значения весов (f) увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя не изменится.

2. Если все значения признака (x) увеличить (уменьшить) на одно и то же число A, то средняя увеличится (уменьшится) на это же число А.

3. Если все значения признака (х) увеличить (уменьшить) в одно и то же число K раз, то средняя увеличится (уменьшится) в K раз.

Изложенные свойства позволяют упростить расчет средней арифметической.

На основании указанных свойств, можно из всех значений признака вычесть постоянную величину А, разности сократить на общий множитель K, а все веса f разделить на одно и то же число и по измененным данным рассчитать среднюю . Затем если полученное значение средней , умножить на K, а к произведению прибавить А, то получим искомое значение средней арифметической по формуле:

,

где .

Средняя , полученная из значений , называется первым моментом, а вышеизложенный способ расчета средней - «способом моментов», или отсчетом от условного нуля.

Технику расчета средней арифметической «способом моментов» покажем на следующем примере:

Таблица 1

Заработная плата, д.е.	Число рабочих, f	x
до 250 250 – 275 275 – 300 300 – 325 325 и более		237, 5 262, 5 287, 5 312, 5 337, 5	- 50 - 25 +25 +50	- 2 - 1 +1 +2	- 20 -15 +12 +10
Итого					-13

(*) в качестве А обычно берут значение х, стоящее в середине вариационного ряда (А=287, 5).

(**) K обычно равно ширине интервала (K=25)

д.е.

Как видим, результаты расчетов по исходной формуле средней арифметической взвешенной и по «способу моментов» совпадают.

3. Мода и медиана.

Мода в статистике - это значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности.

Медиана - это значение признака у единицы совокупности, делящей ранжированный ряд пополам (или стоящей в середине ранжированного ряда).

В дискретном ряду распределения модой является вариант признака, имеющий наибольшую частоту.

Пример: Распределение рабочих по тарифному разряду:

Наибольшее число рабочих (18) имеют третий разряд. Следовательно, мода для данной совокупности – 3 разряд.

Для нахождения медианы строится ряд накопленных частот.

В данной совокупности состоящей из 67 единиц, в середине ранжированного ряда будет находиться 34-й рабочий . Рабочих с 1, 2, 3 разрядом насчитывается 31. Эта величина меньше порядкового номера медианы. Накопленная частота для 4 разряда - 47, т. е. превышает порядковый номер медианы. Отсюда следует, что рабочий, имеющий порядковый номер 34 принадлежит к 4-й тарифной группе. Следовательно, медиана в нашем примере - четвертый разряд.

В интервальных рядах распределения мода рассчитывается по следующей формуле:

где - мода;

- нижняя граница модального интервала (имеющего наибольшую частоту);

- ширина модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота модального интервала;

- частота интервала, следующего за модальным.

Для нахождения медианы в интервальном ряду используют формулу:

,

где - медиана;

- нижняя граница медианного интервала (накопленная частота которого содержит единицу, стоящую в середине ряда);

- сумма частот ряда (численность совокупностей);

- накопленная частота предмедианного интервала (предшествующего медианному);

- частота медианного интервала.

Пример: Имеются следующие данные с дневной выработкой рабочих: