Средний арифметический и средний гармонический индексы.

Приведенные выше формулы расчета индексов называются агрегатными. Расчет индексов по агрегатным формулам возможен, если есть полные данные о физическом объеме продукции и о ценах как на уровне отчетного так и базисного периодов. В реальной действительности полные данные имеются не всегда. В таких случаях приходится исчислять индексы как среднюю взвешенную величину из индивидуальных индексов.

Вопрос о выборе формы средней и системы весов при расчете индекса как среднего из индивидуальных решается на основе общего правила: агрегатный индекс – основная форма всякого индекса. Следствие этого правила – средний из индивидуальных индексов будет тогда правильным, когда он тождественен агрегатному индексу. Это означает, что средние из индивидуальных индексов не самостоятельные индексы, а преобразованная форма агрегатного индекса. При исчислении средних индексов могут быть использованы только две формы средних: средняя арифметическая и средняя гармоническая.

Пример 2

Имеются следующие данные о продаже товаров:

Товарные группы	Продано товаров в базисном периоде, млн. руб.	Индексы количества проданных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным
Обувь		0, 95
Посуда		1, 10
Ковры		1, 20

Требуется определить общий индекс физического объема товарооборота.

Агрегатная формула индекса физического объема товарооборота:

.

В нашем примере есть сведении о . Кроме того, мы имеем индивидуальные индексы количества проданных товаров по каждой товарной группе. Как известно .

Из данной формулы выразим : и подставим это значение в числитель агрегатной формулы индекса. Тогда будем иметь:

,

где - индивидуальный индекс физического объема товарооборота;

- товарооборот базисного периода.

В данном случае используем средний арифметический индекс.

Таким образом, количество проданных товаров увеличилось в отчетном периоде по сравнению с базисным на 7, 5%.

Пример 3.

Имеются следующие данные о реализации товаров:

Вычислить индивидуальные и общий индексы цен.

Индивидуальные индексы:

На одежду
На ткани
На обувь

Агрегатная формула общего индекса цен:

Объем товарооборота по каждой товарной группе имеем по условию задачи.

Из формулы индивидуального индекса цен выражаем : и это значение подставляем в агрегатную формулу .

Тогда

.

Это формула среднего гармонического индекса.

, т.е. в среднем цены снизились на 5, 4%.

4. Индексный анализ динамики средних уровней качественных показателей.

Средние уровни многих экономических явлений исчисляются на основе групповых средних. Например средняя себестоимость изделия А по двум предприятиям определяется исходя из средней себестоимости изделия А на каждом предприятии взвешенной по количеству изделий, произведенных на данном предприятии, т.е.

Индекс динамики средней себестоимости изделия А имеет следующую формулу:

: .

На величину этого индекса оказывают влияние два фактора – изменение себестоимости на каждом предприятии и изменение объема продукции (удельного веса, структуры) отдельных предприятий. Поскольку в данном индексе используются веса разных периодов, то его называют индексом переменного состава. Индекс переменного состава характеризует изменение средней величины качественного показателя по всей совокупности.

Для выявления влияния на изменение средней групповой себестоимости изменения самой себестоимости рассчитывают индекс постоянного состава, который характеризует изменение величины качественного показателя в среднем по отдельным объектам совокупности. Чтобы исключить влияние структурных сдвигов на изменение средней себестоимости, среднюю себестоимость в базисном периоде корректируют на структуру фактического выпуска продукции. В общем виде формула индекса себестоимости фиксированного состава записывается так:

Для выявления влияния на изменение средней величины изменения структуры продукции исчисляют индекс влияния структурных сдвигов.

.

При этом взаимосвязь между индексами выражается следующей формулой:

.

Расчет индексов постоянного, переменного состава и влияния структурных сдвигов покажем на следующем примере.

Пример 4

Имеются следующие данные о деятельности трех строительных организаций:

Строительная организация	Средняя заработная плата строительно-монтажных рабочих, ден. ед.	Среднегодовая численность строителей-монтажников, чел.
базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
«Строй-Сервис»			1 000	1 200
«Госстрой»				1 500
«Строймонтаж»
ИТОГО	×	×	2 350	3 020

Рассчитайте индексы заработной платы переменного и постоянного составов, а также индекс влияния структурных сдвигов.

Объясните результаты расчетов.

Решение:

1. Индекс переменного состава характеризует изменение средней величины качественного показателя – заработной платы – по всей совокупности и рассчитывается по формуле:

.

Средняя заработная плата по всем строительным организациям в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 5, 4%. На величину этого индекса оказали влияние два фактора: изменение самой заработной платы и изменение в структуре рабочих.

2. Индекс постоянного состава изучает изменение качественного показателя за счет динамики самого показателя, исключая влияние структурных сдвигов: как видно, в формуле данного индекса коэффициенты при весах q неизменны (фиксируются на уровне отчетного периода):

.

Рассчитаем индекс заработной платы постоянного состава:

Таким образом, средняя заработная плата по всем строительным организациям повысилась на 5, 2% за счет изменения самой заработной платы.

3. Индекс влияния структурных сдвигов характеризует изменение средней величины качественного показателя за счет изменения структуры совокупности и не учитывает влияние динамики самой качественной величины (размер заработной платы фиксируется на уровне базисного периода):

.

Рассчитаем, чему равен данный индекс в нашем случае:

.

Таким образом, изменение структуры среднегодовой численности строительно-монтажных рабочих повлекло увеличение средней заработной платы на 0, 2%.

Между индексами переменного и постоянного состава и индексом влияния структурных сдвигов существует взаимосвязь: произведение индекса постоянного состава и индекса влияния структурных сдвигов дает индекс переменного состава.

.

С помощью взаимосвязи экономических индексов проверим правильность произведенных расчетов:

Ответ: средняя заработная плата по трем строительным организациям в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 5, 4%. Данное увеличение на 5, 2% было вызвано динамикой самой заработной платы по всем строительным организациям и на 0, 2% – изменением структуры численности строительно-монтажных рабочих данных организаций.

10. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВЗАИМОСВЯЗИ

1. Виды связей.

Любое экономическое явление может быть изучено и понято только в том случае, если будет рассматриваться в его развитии и взаимосвязи с окружающими явлениями. Задача статистического анализа состоит в выявлении и измерении связи между отдельными общественными явлениями. При этом одно явление выступает как причина, а другое как следствие, результат действия этой причины.

По степени зависимости одного явления от другого различают функциональную и корреляционную связь. При функциональной связи определенному значению признака- фактора во всех случаях соответствует одно строго определенное значение результативного признака. Это означает, что, зная величину факторного признака, можно точно определить величину результативного признака.

При корреляционной форме связи не существует строгого соответствия между значениями взаимосвязанных признаков в каждом конкретном случае. Одному и тому же значению признака-фактора может соответствовать целый ряд значений результативного признака. Например – рабочие одной и той же квалификации могут получать разную заработную плату. Связь между этими признаками существует, но не функциональная, а корреляционная. На величину заработной платы оказывает влияние целый ряд других признаков: выработка, стаж работы, разряд работ и т.д.

По направлению различают прямую и обратную связи. Прямой называют такую связь, когда увеличение (уменьшение) значений признака-фактора влечет за собой увеличение (уменьшение) значений результативного признака. При обратной связи уменьшению (увеличению) значения признака-фактора соответствует увеличение (уменьшение) значения результативного признака.

По аналитическому выражению в статистике различают прямолинейную и криволинейную связь. Прямолинейная это такая связь, аналитически выражением которой является уравнение прямой линии. Связь, которая аналитически выражается уравнением какой-либо кривой линии называется криволинейной.

Установление взаимосвязи между признаками общественных явлений осуществляется в результате теоретического анализа. Например, теоретически установлено, что выработка зависит от уровня механизации, автоматизации производства; заработная плата – от уровня квалификации рабочих, стажа работы и т.п. Но эти зависимости могут иметь различное количественное выражение в конкретных условиях места и времени.

2. Корреляционный метод анализа взаимосвязей.

Выявление и измерение связи статистика осуществляет при помощи различных методов, важнейшим из которых является метод корреляционного анализа.

Корреляционный анализ включает расчет целого ряда показателей.

Корреляционное отношение. Использование аналитических группировок дает возможность не только выявить наличие и направление связи между изучаемыми признаками, но и определить её тесноту. Показателем тесноты связи в этом случае может служить корреляционное отношение, рассчитываемое путем сопоставления

Из этого правила следует, что чем более признак-фактор, положенный в основу группировки, определяет изменение признака-результата, тем в большей степени величина межгрупповой дисперсии приближается по своим размерам к величине общей дисперсии .

Если изменение результативного признака всецело определяется изменениями признака-фактора, т.е. при функциональной зависимости общая и межгрупповая дисперсии будут между собой равны, а средняя из групповых дисперсий равна нулю.

Если связь между признаками отсутствует, общая дисперсия будет равна средней из групповых, а межгрупповая – равна нулю.

Это значит, что отношение межгрупповой дисперсии к общей может быть использовано для оценки тесноты связи между изучаемыми признаками. Корень квадратный из этого отношения называется корреляционным отношением.

Абсолютные размеры корреляционного отношения колеблются от нуля до единицы. При отсутствии связи между признаками , при функциональной - . Чем больше приближается к единице, тем теснее связь.

Корреляционное уравнение зависимости (Уравнение регрессии.) Нахождение уравнения корреляционной связи, его параметров (коэффициентов перед переменными), значений результативного признака по этому уравнению называют выравниванием, а вычисленные по нему значения результативного признака - выровненными значениями, которые обозначаются .

При прямолинейной связи это уравнение прямой:

,

где и - параметры уравнения;

- постоянный;

- средний переменный, изменяющийся пропорционально ;

- значение признака-фактора;

- выровненное значение результативного признака.

Параметры линейного корреляционного уравнения находят, используя метод наименьших квадратов из системы нормальных уравнений:

Если исходные данные сгруппированы, то система нормальных уравнений принимает следующий вид:

где - частоты отдельных значений и .

Следует отметить, что корреляционное уравнение имеет не абсолютное, а относительное значение, т.е. оно верно только относительно тех условий места и времени на основе данных по которым оно рассчитано. В другой ситуации оно может иметь другие параметры.

Корреляционное уравнение позволяет определить направление связи по знаку параметра : если положительно – связь прямая, отрицательно – обратная. Численное значение показывает, на сколько единиц изменяется значение результативного признака при изменении значения признака-фактора на единицу.

Индекс корреляции – показатель тесноты связи. Он рассчитывается по следующей формуле:

где - общая дисперсия признака : ;

- средний квадрат отклонений значений результативного признака от выравненных его значений.

, а в случае не сгруппированных данных: .

Индекс корреляции так же как и корреляционное отношение колеблется от нуля до единицы и характеризует только тесноту связи. При этом чем ближе индекс корреляции к единице, тем теснее связь, и чем ближе к нулю, тем связь слабее.

Направление связи определяется расчетом уравнения зависимости.

Линейный коэффициент корреляции. При линейной форме зависимости между признаками показатель тесноты связи можно рассчитать по формуле:

где - линейный коэффициент корреляции;

- средняя из произведений ;

- среднее квадратическое отклонение признака ;

среднее квадратическое отклонение признака .

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до +1, т.е. может быть положительным и отрицательным. Следовательно, его расчет позволяет определить не только тесноту, но и направление связи между изучаемыми признаками, не прибегая к выравниванию. Если положителен – связь прямая, отрицателен – связь обратная. Чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем теснее связь, чем ближе к нулю – тем слабее.

Расчет линейного уравнения связи, индекса корреляции и линейного коэффициента покажем на примере.

Пример.

Имеются следующие данные о квалификации и заработной плате рабочих.

Для характеристики связи между рассматриваемыми признаками исчислить:

а) линейное корреляционное уравнение;

б) линейный коэффициент корреляции;

в) индекс корреляции.

Квалификация – факторный признак, обозначим его через .

Заработная плата – результативный, обозначим - .

Линейное корреляционное уравнение имеет следующий вид:

.

Для нахождения его параметров необходимо решить систему нормальных уравнений:

Линейный коэффициент корреляции исчислим по формуле:

;

.

Для нахождения величин, входящих в данные уравнения и формулы составим следующую расчетную таблицу и заполним первые пять граф.

					64, 65	-6, 65	44, 2
					73, 30	-9, 30	86, 5
					81, 96	7, 05	49, 7
					90, 60	7, 40	54, 76
					56, 00	16, 00	256, 0
					47, 35	1, 65	2, 72
					73, 30	-2, 30	5, 29
					64, 65	-5, 65	31, 9
					73, 30	-5, 30	28, 1
					64, 65	-2, 65	7, 0
ИТОГО
					689, 75		566, 2

В нашем примере система нормальных уравнений будет иметь следующий вид:

Решив данную систему, найдем параметры линейного корреляционного уравнения:

Для нашего примера линейное корреляционное уравнение имеет следующий вид:

Это значит, что с повышением квалификации на один разряд, заработная плата возрастает в среднем на 8, 65 тыс.рублей.

Для расчета линейного коэффициента корреляции определим:

Тогда

Это означает, что между размером заработной платы и уровнем квалификации рабочего существует тесная прямая связь.

Чтобы определить индекс корреляции, дополним расчетную таблицу 12 тремя графами. Для заполнения графы используем найденное выше уравнение регрессии:

;

.

Индекс корреляции, равный 0, 84, свидетельствует о тесной связи между заработной платой и уровнем квалификации рабочих.

Совпадение значений коэффициента корреляции и индекса корреляции свидетельствует о наличии прямой линейной зависимости заработной платы от уровня квалификации.