Тема 9. Ряды динамики

1. Понятие и виды рядов динамики.

Одной из важнейших задач статистики является выявление и измерение изменений явлений во времени. Эту задачу статистика решает путём построения и анализа рядов динамики.

Ряд динамики - ряд чисел, характеризующий изменение явлений во времени.

Ряд динамики состоит из 2-х элементов: 1) временных дат или периодов; 2) уровней ряда – значений изучаемого показателя, относящихся к этим периодам или датам.

Различают интервальные и моментные ряды динамики.

Интервальный ряд динамики - ряд, уровни которого выражают размеры изучаемого явления за определённые промежутки времени.

Моментный ряд динамики - ряд, уровни которого выражают размеры изучаемого явления по состоянию на определённые даты.

Уровни динамических рядов могут быть выражены абсолютными, относительными и средними величинами. Необходимым условием построения и анализа ряда динамики является сопоставимость (сравнимость) уровней ряда по единице измерения, по территории, по времени, по методологии расчёта показателей.

2.Показатели анализа рядов динамики.

Анализ рядов динамики осуществляется с помощью следующих показателей: уровень, абсолютный прирост, темп роста, темп прироста и абсолютное значение одного процента прироста.

Уровень ряда - это первичные значения показателя, отображающие непосредственно уровень развития явления определённую дату или за определённый период. Различают начальный, конечный и средний уровень ряда. Начальным называют первый член ряда динамики, а конечным – последний его член. Средний уровень интервального ряда динамики рассчитывается при помощи средней арифметической простой.

,

где n - число уровней.

Средний уровень моментного ряда динамики рассчитывается по различным формулам в зависимости от имеющихся данных:

а) если есть точные сведения о моменте изменения уровня ряда, то используется формула средней арифметической взвешенной

.

Пример 1

На 1 января 1995 года число рабочих цеха было равно 100 человек; 10 января приняли на работу 2 рабочих, 15 января уволили 3 рабочих, 25 января приняли 1 рабочего. До конца января изменений не было. Определить среднюю списочную численность рабочих цеха за январь 1995 года.

Таблица 6

Расчётная таблица

Дата	Изменение в числе рабочих		Продолжительность периода
1.01
10.01	+2
15.01	-3
25.01	+3
Итого

рабочих.

б) если нет точных сведений о моменте изменения уровня, то расчёт среднего уровня осуществляют по формуле средней арифметической взвешенной из средних величин. Эти средние за период между двумя моментами изменения ряда находят как полусуммы уровней ряда на начало и конец данного периода.

.

Пример 2

Имеются следующие данные о списочной численности рабочих:

на 1.01 - 100 рабочих

10.01 - 102 рабочих

15.01 - 99 рабочих

25.01 - 100 рабочих

31.01 - 104 рабочих

Определить среднесписочную численность рабочих за январь.

Таблица 7

Расчётная таблица

Дата
1.01
10.01			101, 0
15.01			101, 5	507, 5
25.01			99, 5
31.01
Итого				3125, 5

чел.

чел.

в) если нет точных сведений о моменте изменения ряда и промежутки между датами, на которые есть сведения, равны, то используется формула средней хронологической, которая является частным случаем средней арифметической взвешенной из средних величин.

.

Пример 3

Имеются следующие данные о списочной численности рабочих за ноябрь:

1.11 - 100 чел.

11.11 - 110 чел.

21.11 - 108 чел.

1.12 - 112 чел.

чел.

или

Абсолютным приростом в статистике называется разность двух уровней ряда динамики. Он характеризует размер увеличения или уменьшения уровня явления в абсолютных величинах за определённый период времени. Обозначается абсолютный прирост - . Абсолютные приросты могут быть положительными, отрицательными и нулевыми.

Рассчитывают цепные и базисные абсолютные приросты. Цепные абсолютные приросты показывают изменение данного уровня ряда по сравнению с предыдущим.

Базисные абсолютные приросты показывают изменение данного уровня по сравнению с начальным уровнем ряда.

Сумма цепных равна соответствующему базисному абсолютному приросту , где - последний уровень ряда динамики.

Средний абсолютный прирост рассчитывают по формулам:

; ,

где m - число цепных .

Темп роста представляет собой отношение двух уровней ряда, выраженное в процентах или коэффициентах. Он характеризует интенсивность развития явления во времени.

Цепные темпы роста вычисляются по формуле:

или

Базисные: или

показывает во сколько раз увеличился данный уровень ряда по сравнению с предыдущим или базисным уровнем. показывает, какую часть составляет данный уровень от предыдущего или базисного уровня. На основе вычисленных цепных темпов роста можно вычислить коэффициенты ускорения, т.е. отношения последующих цепных темпов роста к предыдущему. Коэффициент ускорения характеризует интенсивность изменения темпов роста.

Между базисными и цепными темпами роста существует следующая взаимосвязь: произведение цепных темпов роста равно соответствующему базисному темпу роста.

Средний темп роста рассчитывается по формуле средней геометрической:

или ,

где m - число цепных темпов роста (выраженных в коэффициентах).

Темп прироста показывает, на сколько процентов увеличился или уменьшился данный уровень по сравнению с предыдущим или базисным.

Цепные темпы прироста вычисляются по формулам:

Базисные:

Средний темп прироста вычисляется:

.

Абсолютное значение прироста - это отношение цепного абсолютного прироста к цепному темпу прироста, выраженному в процентах.

,

т.е. абсолютное значение прироста равно одной сотой доле предыдущего уровня.

Каждый показатель динамики имеет свой смысл, поэтому анализ динамики какого - либо явления требует параллельного использования всех показателей динамики.

Вычисление показателей анализа ряда динамики покажем на следующем примере.

Объём производства на предприятии характеризуется следующими данными:

Цепные абсолютные приросты =

2001- 1649, 3-1571, 3=78, 0 тыс. т.

2002- 1726, 5-1649, 3=77, 2 тыс. т.

2003- 1790, 3-1726, 5=63, 8 тыс. т.

2004- 1855, 0-1790, 3=64, 7 тыс. т.

2005- 1895, 0-1855, 0=40, 6 тыс. т.

Базисные абсолютные приросты =

1991- 1649, 3-1571, 3=78, 0 тыс. т.

1992- 1726, 5-1573, 3=155, 2 тыс. т.

1993- 1726, 5-1571, 3=219, 0 тыс. т.

1994- 1855, 0-1571, 3=283, 7 тыс. т.

1995- 1895, 0-1571, 3=324, 3 тыс. т.

78, 0+77, 2+63, 8+64, 7+40, 6=324, 3 тыс. т.

Цепные темпы роста =

2001г. - %

2002г. - %

2003г. - %

2004г. - %

2005г. - %

Базисные темпы роста =

2001г. - %

2002г. - %

2003г. - %

2004г. - %

2005г. - %

%

Цепные и базисные темпы прироста вычислим как разницу между соответствующим темпом роста и 100%. Они будут равны:

цепные - 4.96%; 4, 68%; 3, 70%; 3, 81%; 2, 24%.

базисные - 4, 96%; 9, 88%; 13, 94%; 18, 06%; 20, 7%.

Абсолютное значение 1% прироста =

2001г. - 15, 713 тыс. т.

2002г. - 16, 493 тыс. т.

2003г. - 17, 265 тыс. т.

2004г. - 17, 903 тыс. т.

2005г. - 18, 550 тыс. т.

Уровни ряда динамики в нашем примере имеют ясно выраженную тенденцию роста (увеличение базисных абсолютных приростов, темпов роста и прироста). При этом скорость и интенсивность роста снижается (уменьшение цепных показателей).

Вычисленные показатели представим в таблице:

[u1]

3.Изучение основной тенденции развития Основная тенденция развития (тренд) обусловлена постоянно действующими факторами. Воздействие случайных факторов проявляется периодически и вызывает колебания уровней рядов динамики. Задача статистики - выявить

и измерить основную тенденцию развития. Решение этой задачи осуществляется с помощью следующих методов: укрупнение интервалов, метод скользящей средней, аналитическое выравнивание.

Метод укрупнения интервалов состоит в том, что данные интервалы ряда динамики заменяют более крупными (например, месячные - квартальными, годичные - пятилетними), и эти укрупненные интервалы характеризуют суммарными или средними величинами.

Пример.

Имеются следующие данные о производстве продукции, тыс. т.

Тенденция данного динамического ряда выражена нечетко. Для ее выявления укрупним интервалы до квартальных, в результате чего получим следующие результаты.

Как видим, преобразованные ряды динамики из суммарных величин и средних четко выражают тенденцию роста производства продукции.

Метод скользящей средней основан на свойстве средней погашать случайные отклонения от общей закономерности. Расчет скользящей средней осуществляется по средней арифметической простой из заданного числа уровней ряда (шага), с отбрасыванием при вычислении каждой новой средней предыдущего уровня и присоединением следующего. В результате расчет средней как бы скользит от начала ряда динамики к его концу. При нечетном шаге каждая вычисленная скользящая средняя соответствует реальному интервалу (моменту) времени, находящемуся в середине шага, а число сглаженных уровней меньше первоначального числа уровней на величину шага скользящей средней, уменьшенного на единицу.

Если шаг скользящей средней выражен четным числом, то полученные скользящие средние центрируют. Операция центрирования заключается в повторном скольжении с шагом, равным двум. Число уровней сглаженного ряда будет меньше на величину шага скользящей средней.

Используя данные приведенного выше примера проведем сглаживание ряда методом скользящей средней:

а) трехмесячной

б) четырехмесячной

Аналитическое выравнивание ряда динамики. Изменение уровней ряда динамики с той или иной степенью точности может быть представлено в виде определенной математической формулы (функции), отражающей общую тенденцию развития (тренд). Аналитическое выравнивание ряда динамики может быть осуществлено либо по формуле прямой линии, либо по параболе второго порядка, либо по показательной (экспонентной) функции.

Выбор формулы уравнения производится на основе теоретического анализа законов развития, характера динамики изучаемого явления.

Если изменение уровней ряда характеризуется равномерным увеличением (уменьшением) уровней, когда абсолютные цепные приросты близки по величине, тенденцию развития характеризует уравнение прямой линии:

,

где - выравненные, теоретические уровни ряда динамики, исчисленные по аналитическому уравнению;

- показатель времени;

и - параметры уравнения.

Если в результате анализа типа тенденции динамики установлена криволинейная зависимость с примерно постоянным ускорением, то форма тенденции выражается уравнением параболы второго порядка

Если рост уровней ряда динамики происходит в геометрической прогрессии, т.е. цепные коэффициенты роста более или менее постоянны, выравнивание ряда динамики ведется по показательной функции

Выбор типа линии, выражающей тенденцию развития, можно произвести, используя графическое изображение ряда динамики (линейную диаграмму).

Методику аналитического выравнивания рассмотрим на следующем примере. Имеются следующие данные об изменении объёма строительно-монтажных работ по строительному управлению (в сопоставимых ценах).

Представим данные ряда динамики в виде линейной диаграммы.

Рис. 1

Из графика видно, что в данном случае следует избрать для выравнивания уравнение прямой:

Параметры и этой прямой определим по способу наименьших квадратов, решением следующей системы нормальных уравнений:

,

где - фактические уровни ряда;

- число уровней ряда динамики;

- условное обозначение времени.

Если начало условного отсчета времени поместить в середину изучаемого периода, то будет равна 0. Это значительно упростит решение данной системы, т.к. при =0 она примет следующий вид:

отсюда , .

Расчеты необходимых значений для определения параметров и произведем в расчетной таблице.

Годы	Эмпирический ряд ()	Условное обозначение дат ()			Выравненный ряд динамики
	53, 5	-4	-254 -209, 4 -129, 4 - 70, 8 +82, 4 +172, 2 +149, 9 +343, 6		64, 37
	69, 8	-3		67, 27
	64, 7	-2		70, 18
	70, 8	-1		73, 10
	77, 5			76, 00
	82, 4	+1		78, 91
	86, 1	+2		81, 82
	83, 3	+3		84, 72
	85, 9	+4		87, 63

;

тогда уравнение прямой будет иметь вид:

По этому уравнению найдем теоретические значения уровней ряда динамики и нанесем их на график, впишем в таблицу.

1887г.

1988г.

1989г. и т.д.

Правильность расчета выровненных уровней доказывает равенство и (684=684)

Параметр в данном случае соответствует величине срединного уровня теоретического ряда динамики (в точке времени принятого за начало отсчета при =0), параметр характеризует средний абсолютный прирост уровней ряда динамики за единицу времени .

Если ряд динамики имеет четное число уровней, то условное обозначение времени производится следующим образом:

Даты
	-5	-3	-1	+1	+3	+5

В этом случае значение параметра лишено реального смысла, а параметр характеризует средний абсолютный прирост уровней ряда за половину периода. Используя определенное выше уравнение обшей тенденции развития явления (уравнение тренда), можно с достаточной точностью сделать прогноз на будущее (экстраполяция). Однако пользоваться экстраполяцией следует с большой осторожностью, только тогда, когда есть уверенность в том, что условия формирования уровней ряда динамики не изменяются.

Нахождение неизвестного уровня внутри ряда динамики называют интерполяцией. Находят его путём определения средней величины из двух (иногда четырёх) членов ряда, непосредственно примыкающих к неизвестному члену ряда.

9. ИНДЕКСНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА

1. Общие теоретические положения.

Индексный метод анализа является одним из основных методов статистического изучения социально-экономических явлений. Индексы в статистической практике наряду со средними величинами - наиболее часто встречающиеся показатели. Они используются для изучения развития различных явлений и процессов как на народнохозяйственном, отраслевом уровнях, так и на уровне предприятий и их подразделений. С помощью индексов осуществляется сопоставление показателей во времени и в пространстве.

Главной отличительной чертой индексов от обычных относительных величин является то, что сопоставляемые показатели обычно характеризуют явления, состоящие из разнородных элементов, непосредственное суммирование которых невозможно в силу их несоизмеримости

Для удобства применения индексного метода, составления формул индексов и их использования в теории и практике статистики разработана определенная символика и применяются следующие условные обозначения:

– объем продукции, товаров и т.д.;

– цена;

или – себестоимость единицы продукции;

или – совокупные затраты, приходящиеся на весь объем продукции;

или – заработная плата;

– общие затраты труда;

– выработка;

.– трудоемкость.

При вычислении индексов различают отчетный показатель и базисный. Отчетным называется сравниваемый показатель, а базисным – показатель с которым сравнивается отчетный. Отчетному показателю придается значок (указатель) «0», отчетному – «1». Например:

q₀, p₀ – объем продукции и цена базисного периода;

q₁, p₁ – объем продукции и цена отчетного периода.

По охвату объекта различают индексы, характеризующие соотношение показателей по какому-нибудь отдельному элементу, и индексы, характеризующие соотношение показателей по сложной массе явлений, отдельные элементы которой не поддаются суммированию в силу того, что они разноименные и часто имеют разную единицу измерения.

Показатель, характеризующий соотношение явлений состоящих из разнородных элементов носит название общего (сводного) индекса и обозначается как - J. При этом, как правило, подстрочно дается значок, который указывает для оценки какой величины рассчитывается индекс. Например общий индекс цен записывается следующим образом:

.

Показатели, характеризующие изменение однородных объектов, входящих в состав сложного явления, называются индивидуальными индексами и обозначаются как i.

Например, индивидуальные индексы цен вычисляются по формуле:

,

где р₁ – цена единицы изделия в отчетном периоде,

p₀ – цена единицы изделия в базисном периоде.

Отличительной особенностью индивидуальных индексов и относительных величин является то, что индексный метод заключается в системном подходе к исследованию явлений на основе объективно существующей между ними взаимосвязи.

При вычислении общих индексов несоизмеримые элементы приводятся к соизмеримому виду с помощью специальных сомножителей, называемых весами-соизмерителями. Так, например, от натуральной формы продуктов переходят к денежной используя в качестве весов-соизмерителей цены или себестоимость.

Показатель, изменение которого изучается, называется индексируемой величиной. При этом, исключают влияние на величину индекса изменение веса, т.е. веса нужно брать на одном и том же уровне.

При построении общих индексов применяются следующие правила выбора весов: если индексируемая величина – качественный показатель, то веса берут на уровне отчетного периода; если индексируемая величина – количественный показатель, то веса берут на уровне базисного периода.

Общие индексы выполняют две функции: аналитическую и синтетическую. Синтетическая функция обеспечивается тем, что в одном индексе обобщаются (синтезируются) непосредственно несоизмеримые явления. Например, разные товары, абсолютно не соизмеримые между собой в натуральном выражении.

Аналитическая функция следует из взаимосвязи индексов. Каждый индекс является составляющей некоей системы индексов, в которой его роль сводится к измерению одного из факторов общего изменения сложного явления. Так, например, индекс цен можно рассматривать как показатель влияния изменения цен на выручку от продажи. Такая трактовка опирается на известную связь признаков:

выручка (или затраты на покупку) = цена единицы товара умноженная на количество товара

При этом системе признаков соответствует и система индексов, т.е. между индексами существует та же взаимосвязь что и между явлениями:

.

Индексы как относительные величины характеризуют изменение явления в коэффициентах или процентах.

2. Построение и расчет агрегатных индексов.

Принципы и методы исчисления индексов рассмотрим на следующем примере.

Пример 1

Имеются следующие данные о количестве выработанной продукции и ценах.

Индивидуальные индексы цен вычислим по формуле:

,

где p₁ – цена единицы изделия в отчетном периоде,

p₀ – цена единицы изделия в базисном периоде.

или 95, 0% - цена по изделию А снизилась в отчетном периоде по сравнению с базисным на 5%.

или 87, 5% - цена по изделию Б снизилась в отчетном периоде по сравнению с базисным на 12, 5%.

или 100% - цена по изделию В в отчетном периоде не изменилась.

Чтобы определить, как изменились цены в среднем по всем изделиям, определим общий индекс цен (J_p). Для исчисления общего индекса цен следует, прежде всего, перейти от совокупности элементов, непосредственно не поддающихся суммированию, которыми являются цены на отдельные виды изделий, к другой совокупности, сумма элементов которой дает экономически осмысленную величину. Этот переход осуществляется с помощью соизмерителей (весов). Для исчисления общего индекса цен в качестве весов может выступать количество изделий (q). Произведение цен на количество изделий () есть стоимость произведенной продукции по каждому изделию. Сумма стоимости по каждому изделию даст общую стоимость всей произведенной продукции.

Чтобы выявить изменение только цены, следует при расчете индекса цен исключить влияние на его величину изменения количества произведенной продукции. Для этого мы должны в качестве весов взять объем продукции какого-то одного периода. Какого? Базисного или отчетного? При решении вопроса о выборе весов следует руководствоваться исключительно экономическими соображениями, т.е. задачей, которая стоит перед конкретным индексом. Изменение цен, как правило, интересно знать на продукцию отчетного периода, поэтому в качестве весов следует взять продукцию отчетного периода. Тогда

.

В нашем примере общий индекс цен будет равен:

Это значит, что цены по всем изделиям в отчетном периоде по сравнению с базисным снизились в среднем на 7, 4%.

Такой расчет позволяет определить не только изменение цен в процентах, но и абсолютный прирост (уменьшение) стоимости всей продукции за счет изменения цен. Она исчисляется как разница между числителем и знаменателем общего индекса цен.

, где

- абсолютный прирост (уменьшение) стоимости продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения цен;

- фактическая стоимость продукции отчетного периода;

- стоимость продукции отчетного периода при базисных ценах.

В нашем примере

Это значит, что за счет снижения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным в среднем на 7, 4%, стоимость произведенной продукции уменьшилась на 27 тыс.д.е..

Если бы в качестве весов мы взяли продукцию базисного периода (q₀), то задачи, поставленные перед данным индексом мы не смогли бы решить, а индекс цен имел бы иной смысл. Для всех индексов качественного показателя (цен, себестоимости, заработной платы, урожайности, производительности труда и т.п.) следует помнить следующее правило: расчет абсолютных сумм прироста (уменьшения) в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения качественного показателя следует производить на основе индексов, исчисленных на продукцию отчетного периода.

Индивидуальные индексы физического объема продукции исчислим по формуле

В нашем примере: - объем произведенной продукции по изделию А увеличился в отчетном периоде по сравнению с базисным на 25%.

- объем произведенной продукции по изделию Б увеличился в отчетном периоде по сравнению с базисным на 10%.

- объем произведенной продукции по изделию В увеличился в отчетном периоде по сравнению с базисным на 12, 5%.

При исчислении общего индекса количественного показателя, каким является физический объем продукции, в качестве весов берется качественный показатель. В нашем примере весами выступают цены. При этом следует иметь в виду, что в индексах количественного показателя веса берутся на уровне базисного периода.

.

Объем произведенной продукции по всем изделиям увеличился в отчетном периоде по сравнению с базисным на 14, 4%.

Разница между числителем и знаменателем покажет абсолютный прирост (уменьшение) стоимости продукции по всем изделиям в отчетном периоде за счет изменения физического объема.

За счет изменения физического объема производства стоимость продукции увеличилась на 46 тыс.д.е.

По данным нашего примера можно определить и индекс стоимости продукции. В индексе стоимости продукции в качестве индексируемой величины выступает стоимость продукции, равная произведению цены на количество продукции .Следовательно:

В нашем примере:

Стоимость продукции отчетного периода больше стоимости продукции базисного периода на 5, 9%.

Абсолютное выражение изменения стоимости продукции можно определить как разницу между числителем и знаменателем индекса стоимости продукции:

.

Данная система индексов позволяет разложить изменение общей величины по факторам. Поскольку стоимость продукции есть результат действия двух факторов (цены и объема производства), то изменение каждого из них влечет за собой изменение и стоимости продукции. Изменение стоимости за счет изменения цены определим как разницу между числителем и знаменателем индекса цен:

,

а за счет изменения объема продукции – как разницу между числителем и знаменателем индекса физического объема продукции:

.

При этом .

В нашем примере абсолютный прирост стоимости продукции составит

Стоимость продукции в отчетном периоде увеличилась по сравнению с базисным на 19 тыс.д.е. Это изменение обусловлено двумя факторами: изменением цен и изменением физического объема продукции.

Как отмечалось выше, величина стоимости продукции обусловлена воздействием двух факторов – цен и физического объема продукции. Индекс стоимости продукции так же связан с индексами цен и физического объема продукции. Причем между индексами существует та же взаимосвязь, что и между явлениями. Поскольку стоимость продукции равна произведению цен на объем произведенной продукции, то и .

В нашем примере:

.

Используя данное соотношение между взаимосвязанными индексами, можно определить любой из трех индексов, если 2 из них известны, т.е.

.

При исчислении индексов за ряд периодов можно рассчитывать цепные и базисные индексы. Причем, если для всех индексов берутся веса на уровне какого-то одного периода, то такой индексный ряд называется индексным рядом с постоянными весами. Если веса берутся на уровне разных периодов, - то с переменными весами. Правило для индексного ряда с постоянными весами – произведение цепных индексов равно соответствующему базисному индексу.

.