Нормальне рівняння еліпса

20. Гіпербола

Гіпербола — крива другого порядку з ексцентриситетом більшим за одиницю.

Гіпербола є невиродженою кривою другого порядку, яка задається рівнянням: ^[1]

де та — параметри. Таке рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи.^[2]

Нехай канонічне рівняння кривої другого порядку шляхом переносу центру координат перетворено у вигляд:

В цьому випадку крива проходить через початок координат нової системи; вісь абсцис є віссю симетрії кривої. Це рівняння відображає той факт, що невироджена крива другого порядку є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких (ексцентриситет) від заданої точки (фокуса) та від заданої прямої (директриса) незмінна. Крива є гіперболою, якщо .^[1] Тобто, гіпербола є геометричним місцем точок, абсолютна величина різниці відстаней яких від фокусів дорівнює (фокальна властивість гіперболи). Директоріальна властивість гіперболи полягає в тому, що гіпербола є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких від фокуса до одноіменної директриси дорівнює .^[2]

·

Гіпербола та її фокуси.

·

Гіпербола та її напіввіссі та асимптоти.

·

Рівнобічна гіпербола.

Якщо в канонічному рівнянні гіперболи , то гіпербола називається рівнобічною. В координатах

рівняння рівнобічної гіперболи

матиме вигляд:

звідки випливає, що по відношенню до координат та рівнобічна гіпербола являє собою графік звортньо-пропорційної залежності. В координатах та маємо такий саме графік обернений на кут .^[2]

При (а також при ) графік зворотньо-пропорційної залежності щільніше притіскається до осі абсцис (відповідно, до осі ординат ), оскільки ці осі є асимптотами (двобічними) графіку. В канонічних координатах , ці асимптоти є бісектрисами та координатних кутів.^[2]

З гіперболою пов'язані такі числові властивості:

· число , що зветься дійсною напіввіссю;

· число , що зветься уявною напіввіссю;

· число , що зветься лінійним ексцентриситетом;

· число , що зветься фокусною відстаню;

· число , що називається числовим ексцентриситетом;

· число , що зветься фокальним параметром;

· вісь абсцис, що зветься дійсною (або фокальною) віссю;

· вісь ординат, що зветься уявною віссю;

· точка , що зветься центром;

· точки , що звуться вершинами;

· точки , що звуться фокусами;

· прямі , що звуться директрисами.