Основні елементарні функції.

Основними елементарними функціями є такі функції:

xⁿ – степенева;

а^х – показникова;

log_ax – логарифмічна;

тригонометричні: sin x, cos x, tg x, ctg x;

обернені тригонометричні: arcsin x, arccso x, arctg x, arcctgx.

Відзначимо деякі характерні особливості і властивості цих функцій.

Степенева функція xⁿ означена для всіх додатніх х і при n< 0 вона не означена при х=0. на мал.1.1 – 1.7 наведені її графіки.

Показникові функція y=a^x означена для всіх х і додатня. При а> 1 вона монотонно зростає, при 0< a< 1 – монотонно спадає (мал.1.2).

Логарифмічна функція y=log_ax означена для всіх Х> 0. При a> 1 вона монотонно зростає, при 0< a< 1 – монотонно спадає (мал. 1.3).

Тригонометричні функції sin x, cos x означені для всіх х, Х – це кут, вимірюваний у радіанах, tg x - означений для всіх , ctg x означений для всіх

Графіки функцій тригонометричні: arcsin x, arccsos x, arctg x, arcctgx наведені на мал.1.7 – 1.9.

Всі вони приведені на рис. 1.1.

Функція називається парною, якщо для довільних х з області означення f(-x)= f(x), то функція називається парною.

Приклад. Функція y=x⁴ – парна так, як при довільних х (-х)⁴ =(х)⁴.

Графік парної функції симетричний відносно осі координат.

Якщо ж для довільних значень х з області існування f(-x)= -f(x), функція f(x) називається непарною.

Приклад. Функція y=x⁵ - непарна, так як (-х)⁵= - х⁵.Існують функції, які не являються парними чи непарними.

Приклади: , , .

Функція у= f(x) називається періодичною, якщо існує не рівне нулю число Т таке, що при всіх значеннях х з області її означення, f(x+T)= f(x). Число Т називається періодом функції.

Приклад. . Період функції .

Дуже часто при заданні функції аналітичним виразом y=f(x) область означення цієї функції не вказується. В такому випадку під областю означення функції розуміють область існування аналітичного виразу y=f(x), тобто множину значень аргументу х, для яких аналітичний вираз має означене конкретне значення.

Таблиця1 - Області означення основних елементарних функцій.

Елементарна функція	Область означення
xn	(-∞; +∞)
	[0; +∞)
	(-∞; +∞)
lg x	(0; +∞)
ax	(-∞; +∞)
sin x	(-∞; +∞)
cos x	(-∞; +∞)
tg x
ctg x	(n*p: (n+1)*p) де n – 0; ±1; ±2; …
Arcsin x	[-1; 1]
arccos x	[-1; 1]
Arctg x	(-∞; +∞)
arcctg x	(-∞; +∞)

Дуже часто при заданні функції аналітичним виразом y=f(x) область означення цієї функції не вказується. В такому випадку під областю означення функції розуміють існування аналітичного виразу y=f(x), тобто множину значень аргумента х, для яких аналітичний вираз y=f(x) має певне, кінцеве значення.

Приклад. Знайти область означення функції:

.

Розв’язок. Очевидно повинна мати місце нерівність , чи нерівність . Остання нерівність виконується якщо

або

З першої системи нерівностей слідують

звідки .

З другої системи нерівностей слідують

несумісні нерівності.

Таким чином, область означення даної функції буде відрізок .

Вкажемо наступне:

інтервалом (а; b) називається множина чисел х, для яких a< x< b

Закритим інтервалом [a; b] називається множина чисел х, для яких a£ x£ b;

Напіввідкритим інтервалом (a; b], чи [a; b) називається множина чисел х, для яких a< x£ b, чи a£ x< b;

Нескінченним інтервалом (-∞; a), (-∞; a], (b; +∞), [b; +∞), (-∞; +∞) називається множина чисел х, що задовільняють нерівності -∞ < x< a, -∞ < x£ a, b< x< +∞, b£ x< +∞, -∞ < x< +∞.

2.Основні особливості поведінки функції.

Функція y=f(x) (рис.1.2, а) монотонно зростає на інтервалі (a; b), якщо f(x₂)> f(x₁) для довільних х₁ і х₂, причому (x₂> x₂₁) із (a; b).

Функція y=f(x) (рис.1.2, б) монотонно спадає на інтервалі (a; b), якщо f(x₂)< f(x₁) для довільних х₁ і х₂, причому (x₂> x₁) із (a; b).

Якщо для точки х₀ можна знайти такий інтервал (a; b) a< x₀£ b що:

f(x₀)> f(x) для довільного х¹ х₀ із (a; b), то точка х₀ називається точкою максимума (max) функції y=f(x) (рис.1.3, а).

f(x₀)< f(x) для довільного х¹ х₀ із (a; b), то точка х₀ називається точкою мінімума (min) для функції y=f(x) (рис.1.3, б).