Поняття нескінченно малої та нескінченно великої величини.

Нескінченно малі величини.

1) Поняття нескінченно малої величини. Числова функція f(x) нескінченно мала функція (величина) при х, яке прямує до а, якщо для будь-якого малого числа ε > 0, знайдеться число , яке , що при всіх , які належать області визначення функції і задовольняють нерівності

,

виконується нерівність . Тобто .

Підкреслимо, що нескінченно малу величину треба розуміти як змінну величину, яка тільки в процесі своєї зміни (коли х прямує до а) буде менша за довільне мале число ε > 0.

Приклад. Величини: ; ;

f(x) = ln(x + 1) нескінченно малі при х, яке прямує до нуля.

2) Властивості нескінченно малої величини:

а) якщо функція у = f(х) може буде записана у вигляді додатку сталої величини b і нескінченно малої (х):

, то . Правильно й зворотне;

б) якщо (х) нескінченно мала величина і не обертається у нуль при (або при ), то нескінченно велика величина;

в) алгебраїчна сума двох, трьох і взагалі визначеного числа нескінченно малих є нескінченно мала функція;

г) добуток нескінченно малої величини на обмежену функцію, коли х прямує до а (або ), є нескінченно малою величиною;

д) частка від ділення нескінченно малої величини на обмежену величину, яка має границю відмінну від нуля, коли (або ), є нескінченно мала величина.

Усі ці властивості можна подати як теореми і робити їх доказ. Наприклад, доведемо останнє твердження.

Нехай (х) - нескінченно мала функція, тобто ;

z(x) - обмежена функція, тобто Розглянемо функцію (х)/z(x) коли . Функцію можна записати так (х)(1/z(x)).

Але , коли , а , тому що .

Маємо добуток нескінченно малої величини на обмежену величину, який дає нескінченно малу величину.

5. Нескінченно великі величини.

2) Поняття нескінченно великої величини. Функція f(x) нескінченно велика величина при х, яке прямує до а, якщо для будь-якого скільки завгодно великого числа Е > 0 знайдеться таке число , яке , що при усіх , які належать області визначення функції і задовольняють нерівності

,

виконується нерівність

.

Як і у випадку з нескінченно малими, треба зазначити, що жодне окремо взяте значення нескінченно великої величини не можна назвати як " нескінченно великим" - нескінченно велика величина - це функція, яка тільки в процесі своєї зміни може стати більшою від довільно взятого числа Е > 0. Тобто .

Приклад. Величини: f(x) = 1/х при х, яке прямує до нуля; f(х) = tg(х) при х, яке прямує до є нескінченно великими.

2) Нескінченно малі й нескінченно великі величини зв'язані між собою такою залежністю: якщо величина f(х) - нескінченно велика при , то її обернена величина

- нескінченно мала.

Сформульовані вище означення нескінченно малої та нескінченно великої величини можна узагальнити і на випадок, коли замість числа а береться або .

Приклад. - нескінченно велика величина; – нескінченно мала величина.