Зростання та спадання функції

Функцію у = f(х) називають зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.

На малюнку 64 зображено графік функції у = f(x), що зростає на проміжку [а; b] (проміжок [а; b] при цьому називають проміжком зростання функції). Для будь-яких x₁ і х₂ з цього проміжку, таких, що х₂ > х₁ виконується нерівність f(x₂) > f(x₁).

Функцію у = f(x) називають спадною на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає менше значення функції.

На малюнку 65 зображено графік функції у = f(х), що спадає на проміжку [а; b] (проміжок [а; b] при цьому називають проміжком спадання функції).

Для будь-яких x₁ і х₂ з цього проміжку, таких, що х₂ > х₁, виконується нерівність f(х₂) < f(x₁).

49 Екстремум — найбільше та найменше значення функції на заданій множині.

Розрізняють:

· локальний — екстремум в деякому довільно малому околі даної точки

· глобальний — екстремум в усій розглядуваній області значень функцій

Зміст

· 1Означення

· 2Теорема Ферма

· 3Теорема Ролля

· 4Див. також

· 5Джерела інформації

Означення[ред. • ред. код]

Точка називається точкою локального мінімуму або максимуму функції , якщо для точки мінімуму, або для точки максимуму. Якщо знак нерівності строгий, то отримаємо строгий локальний мінімум або максимум.

Теорема Ферма[ред. • ред. код]

Нехай — точка екстремуму функції . Якщо — внутрішня точка для і — диференційована в точці , то .

Теорема Ролля[ред. • ред. код]

Якщо неперервна на , диференційована на і , то

Необхідною умовою існування екстремуму в точці диференційованої функції є рівність нулю її похідної: .

Критичними або стаціонарними точками неперервної функції є ті точки, в яких її похідна дорівнює нулю або не існує.

Достатньою умовою існування екстремуму в точці для диференційованої функції є зміна знака похідної при переході через цю точку. Так при зміні знака з “+” на “–” в точці функція має максимум, а з “–” на “+” – мінімум (Рис. 6).

50. Опукла функція — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняєнерівності

при всіх λ ∈ [0, 1].

Нехай область визначення опуклої функції f (x) лежить в скінченновимірному просторі, тоді f (x) неперервна в будь якій внутрішній точці цієї області.

Властивості опуклих функцій[ред. • ред. код]

Нехай x ₁, …, x _m — будь які точки із області визначення опуклої функції f (x), λ ₁, …, λ _m — не від'ємні числа, які в сумі дорівнюють 1. Тоді

.

Якщо f (x) — двічі неперервно-диференційована опукла функція, то матриця її других похідних не від'ємно визначена.

51. Нехай функція f (х) задана на інтервалі (a, b) і х _1, х ₂ - будь-які різні точки цього інтервалу. Через точки А (х _1, f (Х ₁₎₎ і В (х _2, f (Х ₂₎₎ графіка функції f (Х) проведемо пряму, відрізок АВ якої називається хордою. Рівняння цієї прямої запишемо у вигляді у = у (х).

Функція f (Х) називається опуклою вниз на інтервалі (a, b), якщо для будь-яких точок х _1, х ₂  (a, b), а  х ₁ < х ₂  b, хорда АВ лежить не нижче графіка цієї функції, т. тобто якщо f (Х)  у (х), œ х  [Х _1, х _2]  (a, b):

Зауважимо, що опуклу вниз функцію іноді називають увігнутою функцією. Аналогічно визначається опуклість функції вгору.

Функція f (Х) називається опуклою вгору на інтервалі (a, b), якщо для будь-яких точок х _1, х ₂  (a, b), а  х ₁ < х ₂  b, хорда АВ лежить не вище графіка цієї функції, тобто якщо f (Х)  у (х), œ х  [Х _1, х _2]  (a, b):

Теорема 3 (достатня умова опуклості). Якщо f (Х) - двічі безупинно диференціюємо а на інтервалі (a, b) і

1) f''(х)> 0, œ х  (A, b), то на (a, b) функція f (Х) опукла вниз;

2) f''(х) < 0, œ х  (A, b), то на (a, b) функція f (Х) опукла вгору.

Точка х ₀ називається точкою п е регіба функції f (Х), якщо   - навкруги-ність точки х _0, що для всіх х  (х ₀ -   х ₀₎ графік функції знаходиться з одного боку дотичній, а для всіх х  (х _0, х ₀ +   - з іншого боку каса -котельної, проведеної до графіка функції f (Х) в точці х _0, тобто точка х ₀ - точка перегину функції f (Х), якщо при переході через точку х ₀ функція f (Х) змінює характер опуклості:

х ₀ -  х ₀ х ₀ + 

Теорема 4 (необхідна умова існування точки перегину). Якщо функція f (Х) має безперервну в точці х ₀ похідну f''і х ₀ - точка перегину, то f''(х ₀₎ = 0.

Доказ.

Якби f''(х ₀₎ < 0 або f''(х _0)> 0, то по теоремі 3 в точці х ₀ функція f (Х) була б опукла вгору або вниз. Отже, f''(х ₀₎ = 0.

52. Асимпто́ та криво́ ї (грец. α σ υ μ π τ ω τ ο ς — що не збігається, не дотикається) — це пряма, до якої крива при віддаленні в нескінченність наближається як завгодно близько.

Якщо крива, задана рівнянням y = f(x), віддаляється в нескінченність при наближенні x до скінченної точки a, то пряма x = a називається вертикальною асимптотою цієї кривої.

Такими асимптотами є пряма x = 0 для гіперболи y = 1/x кожна з прямих x = kπ (k = 0, ± 1, ± 2, …) для функції у = ctg(x).

Крім вертикальної асимптоти x = 0 гіпербола y = 1/x має ще й горизонтальну асимптоту у = 0, як і графік функції у = е^{− x} sin(х), проте він, на відміну від гіперболи, перетинає свою горизонтальну асимптоту нескінченну кількість раз (+графік).

Криві, що описуються рівняннями х³ + у³ — Заху = 0 (декартів лист) (+графік), та у = 1/х + х мають похилу асимптоту.

Коефіцієнти k і b в рівнянні прямої у = kx + b — похилої асимптоти кривої у = f(x) при віддаленні до плюс чи мінус нескінченності, знаходять як границі:

Горизонтальна асимптота є частковим випадком похилої при k = 0. Дослідження асимптот дозволяє чіткіше уявити поведінку графіка функції, оскільки властивості функції поблизу її асимптоти дуже близькі до властивостей асимптоти — лінійної функції, властивості якої добре вивчені. Систематичне використання цієї властивості породило напрямок у сучасній математиці — «асимптотичні методи дослідження».

Не всі криві мають асимптоти. Наприклад, парабола асимптот не має.