Правила диференціювання

Якщо згадати, що , то звідси отримаємо . Цю рівність і використаємо при доведенні наступних теорем.

Теорема 1. (Похідна суми функцій) Якщо функції та диференційовні в точці , то в цій точці буде диференційовною і сума цих функцій. Причому, похідна суми функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій, тобто .

Доведення. Нехай . Тоді

Отже, , що і треба було довести.

Теорема 2. (Похідна добутку функцій) Якщо функції та диференційовні в точці , то в цій точці буде диференційовний добуток цих функцій і має місце формула .

Доведення. Нехай . Тоді

звідки

Функція - за умовою теореми є диференційованою в точці , а значить і неперервною.З означення неперервної функції , якщо . А тому останній доданок дорівнює нулю, і ми отримали необхідну формулу.

Наслідок. - сталий множник можна виносити за знак похідної.

Теорема 3. (Похідна частки функцій) Якщо функції та диференційовні в точці і , то частка цих функцій також диференційована в точці і має місце формула .

Доведення. Нехай . Тоді

а значить .

Наслідок 1. .

Наслідок 2. .

Приклад 1. Знайти похідну функції ().

.

Отже, отримали формулу .

Приклад 2. Знайти похідну функції ().

.

Отже, отримали формулу .

Теорема 4. (Похідна оберненої функції) Нехай функція визначена, неперервна і строго монотонна в околі точки (). Якщо існує , то існує похідна оберненої функції і .

Доведення. При вказаних умовах існує обернена функція в околі точки , яка також неперервна і строго монотонна. Надамо приросту . Тоді одержить приріст . З монотонності маємо, що , а з неперервності . Тому

або .

Отже, .

Останні формули мають простий геометричний зміст: кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці є , а кутовий коефіцієнт до графіка функції в точці - . Очевидно, що , а тому або .

А значить, або .

Приклади 1. Нехай . Тоді . А значить,

.

Отже, отримали формулу .

В частинному випадку, коли , маємо .

2. Нехай . Тоді , , . А значить, .

Отже, отримали формулу .

3. Нехай, . Тоді , де , .

.

Отже, отримали формулу .

4. Нехай . Тоді, , де

.

Отже, отримали формулу .

5. Нехай . Тоді , де ,

.

Отже, отримали формулу .

Теорема 5. (Похідна складної функції) Нехай функції та задають складну функцію . Якщо функція диференційовна в точці , а функція диференційовна в точці , то складна функція диференційовна в точці і похідна знаходиться за формулою

.

Доведення. Надамо деякого приросту . Тоді функція отримає приріст , а функція - приріст . Але функція диференційовна в точці , тому , де - нескінченно мала: при . Останню рівність поділимо на

.

А тепер перейдемо до границі при . Отримаємо

,

що і треба було довести.