Точки розриву функції та їх класифікація

Означення 1.1. Якщо функція в точці не є неперервною, то точка називається точкою розриву функції (discontinuity point).

Зауваження. Елементарна функція не може мати розривів у внутрішніх точках своєї області визначення.

Точки розриву функції можна поділити на види:

· Точки розриву першого роду (ordinary discontinuity).

Означення 1.2. Точка називається точкою розриву функції першого роду, якщо існують скінченні односторонні границі при , але вони не рівні між собою.

- точка розриву першого роду Приклад 1.1. Дослідити на розрив функцію .

Розв’язання. Оскільки не існує, то - точка розриву функції.

Обчислимо односторонні границі функції в точці :

, .

Оскільки , то точка є точкою розриву першого роду.

Графік даної функції подано на рисунку 1.1

· Точки розриву другого роду (no ordinary discontinuety).

Означення 1.3. Точка називається точкою розриву функції другого роду, якщо хоч би одна з односторонніх границь (зліва чи справа) при не існує (зокрема, дорівнює нескінченності (infinite discontinuity)).

Приклад 1.2. Дослідити на розрив функцію .

Розв’язання. Оскільки не існує, то - точка розриву функції.

Обчислимо односторонні границі функції в точці :

, (оскільки );

, (оскільки ).

Оскільки не існує, то точка є точкою розриву другого роду.

Для схематичної побудови графіка функції, окрім односторонніх границь в точці , знайдемо границю при :

Рис. 1.2

, (оскільки ). А це означає, що пряма є одночасно лівою і правою горизонтальною асимптотою. Графік даної функції подано на рисунку 1.2.

· Точки усувного розриву (removable discontinuity, removable jump). Означення 1.4. Точка називається точкою усувного розриву функції , якщо в цій точці виконується умова , але або , або не існує.

Приклад 1.4. Дослідити на розрив функцію .

Розв’язання. Оскільки не існує, то - точка розриву функції.

Обчислимо границі зліва і справа в точці :

,

.

Оскільки , то точка є точкою усувного розриву.

Отже маємо: .

Схематичний графік зображено на рисунку 2.11.