Означення диференціала функції та його геометричній зміст

Диференціал в математиці — головна лінійна частина приросту функції або відображення.

В математичному аналізі диференціал традиційно вважається нескінченно малим приростом змінної. Наприклад, якщо x — змінна, тоді приріст значення x часто позначається Δ x (чи δ x, якщо цей приріст малий). Диференціал d x також є таким приростом, але нескінченно малим. Варто зазначити, що таке визначення не є математично строгим, але воно зручне для розуміння, також існує багато способів зробити визначення математично точнішим.

Головна властивість диференціалу: якщо y функція від x, тоді диференціал d y від y пов'язаний з d x формулою:

де d y /d x позначає похідну від y по змінній x. Ця формула підсумовує інтуїтивне твердження, що похідна y по змінній x це границя відношення приростів Δ y /Δ x де Δ x прямує до нуля.

Якщо функція має похідну в точці , то вираз називається диференціалом (differential) функції в цій точці і позначається символом . Тобто,

. (3.10)

Зауваження. Диференціал функції в даній точці є головною лінійною частиною приросту функції, пропорційною приросту аргументу з коефіцієнтом пропорційності :

.

Диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто

.

Для будь-якої диференційовної в точці х функції формулу (3.10) можна записати так:

.

Звідки отримаємо, що

, (*)

тобто похідну можна розглядати як відношення двох диференціалів.