![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Применение аналогий при построении моделей. Модель Мальтуса и логистическая модель развития популяций. Особенности нелинейных моделей.
В огромном числе случаев при попытке построить модель какого-либо объекта либо невозможно прямо указать фундаментальные законы или вариационные принципы, которым он подчиняется, либо вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку. В таких случаях оправдано использование аналогий с уже изученными явлениями. Что, казалось бы общего между радиоактивным распадом и динамикой популяций, в частности изменением численности населения нашей планеты? Однако такая аналогия просматривается, о чем свидетельствует одна из простейших моделей популяций, называемая моделью Мальтуса. В ее основу положено простое утверждение, что скорость изменения населения со временем t пропорциональна его текущей численности N(t), умноженной на сумму коэффициентов рождаемости Простота многих рассмотренных моделей связана с их линейностью. В математическом плане это означает, что справедлив принцип суперпозиции, то есть любая линейная комбинация решений также является решением задачи. Пользуясь этим принципом, нетрудно, найдя решение в каком-либо частном случае, построить решение в более общей ситуации. В случае линейных моделей отклик объекта на изменение каких-либо условий пропорционален величине этого изменения. Для нелинейных явлений знание о поведении части объекта еще не гарантирует знания о поведении всего объекта, а его отклик может качественно зависеть от величины этого изменения. Например, уменьшение падение луча света на границу раздела двух сред приводит к уменьшению угла преломления, но только до определенного предела: если угол становится меньше критического, то происходит качественное изменение – свет перестает проникать через границу раздела двух сред. Большинство реальных явлений нелинейно. Линейные же модели отвечают весьма частным случаям и, как правило, служат лишь первым приближением к реальности. Например, популяционные модели становятся нелинейными, если принять во внимание ограниченность доступных популяции ресурсов. Рассмотрим такую нелинейную модель – логистическую модель изменения численности популяций. Она является следующим звеном в иерархической цепочке популяционных моделей. В логистической модели предполагается, что: Существует равновесная численность популяции
Рис. 6. Модель предсказывает, что с течением времени устанавливается стационарный режим, который устойчив: большое население уменьшается, меньшее – увеличивается. Модель Мальтуса изменения численности популяций, имеющая вид:
|