Универсальность вариационных принципов. Колебания маятника в поле сил тяжести.

Универсальность вариационных принципов выражается в том, что, сформулированные для определенного класса явлений, они позволяют единообразно строить математические модели.

Дадим общую схему вариационного принципа Гамильтона для механической системы. Пусть имеется механическая система, все взаимодействия между элементами которой определяются законами механики. Введем понятие обобщенных координат Q(t), полностью определяющих положение механической системы в пространстве. Величину естественно назвать обобщенной скоростью механической системы в момент времени t. Набор величин Q(t) и определяет состояние механической системы во все моменты времени. Для описания механической системы вводится функция Лагранжа, которая, как правило, имеет ясный смысл и записывается в виде , где – кинетическая и потенциальная энергия системы соответственно. Далее введем величину , называемую действием: .

Принцип Гамильтона – принцип наименьшего действия для механической системы гласит: если система движется по законам механики, то Q(t) – стационарная функция для или , здесь φ (t) – некоторая пробная функция, такая, что φ (t1) = φ (t2)=0 и Q(t) + ε φ (t) – возможная координата данной системы. Функция ε φ (t) называется вариацией величины Q(t).

Смысл принципа Гамильтона в том, что из всех мыслимых (допускаемых) траекторий системы между моментами времени реализуется движение, доставляющее минимум функционалу действия.

Итак, схема применения принципа Гамильтона состоит в том, что определяются обобщенные координаты Q(t) и обобщенные скорости системы, строятся функция Лагранжа и функционал действия , минимизация которого и дает искомую модель.

Воспользуемся принципом Гамильтона для построения модели колебаний маятника в поле сил тяжести.

Задача. На неподвижном шарнире подвешен маятник – груз массы m, находящийся на конце стержня длины l. Написать уравнение колебаний маятника.

Решение. Шарнир читается идеально гладким и неподвижным, стержень считается невесомым и абсолютно жестким, груз имеет небольшие размеры по сравнению с длиной стержня, ускорение свободного падения g постоянно, сопротивлением воздуха пренебрегаем. После всех этих предположений ясно, что положение маятника определяется одной обобщающей координатой – углом отклонения стержня от вертикали Q(t)=α (t), обобщенная скорость в данном случае – угловая скорость . Кинетическая и потенциальная энергии задаются формулами: , , где h – отклонение маятника от наинизшего положения по вертикали, тогда функция Лагранжа и действие имеют вид:

.

Здесь мы опустили член mgl так как потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной.

Находя действие на вариациях

и дифференцируя его по ε, полагая ε =0, получаем .

Интегрируем первый член в интеграле по частям и, учитывая что φ (t1)= φ (t2)=0, приходим к следующему уравнению , которое в силу произвольности , может удовлетворяться лишь в случае , таким образом, получено уравнение колебания маятника. Заметим, что это уравнение нелинейно. Если угол α мал, а значит sinα ≈ α, то имеем линейную модель малых колебаний маятника в виде .

Приведенный пример использования принципа Гамильтона иллюстрируют четкий алгоритм действий. Универсальность, строго формализованная последовательность действий делают вариационные принципы весьма привлекательными, а иногда и единственно возможными методами.

6. Постановка первой краевой задачи для функции Грина в области 0< x < l и нахождение ее решения.

Всякий случай нахождения функции Грина для соответствующей краевой задачи в нецилиндрической области имеет важное значение для прикладных целей, так как содержит в себе обширную информацию, позволяя выписать большое число аналитических решений в зависимости от неоднородных функций в исходной постановке задачи.

Рассмотрим постановку первой краевой задачи для функции Грина G(x, t, x¢, t) по переменным (x, t)

Задача решается методом интегральных преобразований Фурье. Воспользуемся таблицами Карташова и найдем ядро интегрального преобразования (и остальные необходимые формулы) для граничной задачи 1.1: это . Выпишем интегральное преобразование функции G(x, t, x¢, t) по переменной x с формулой обращения и применим его к поставленной задаче, тогда получим следующую задачу Коши

Находим решение этой задачи и, используя формулу обращения, получим

7. Постановка задачи 2.1 для функции Грина в области 0< x< l и нахождение ее решения.

Повторить выкладки пункта №6, рассматривая задачу 2.1.

8. Постановка первой краевой задачи для функции Грина в области x > l и нахождение ее решения.

Постановка первой краевой задачи для функции Грина G (x, t, x ¢, t) в области x > l имеет вид

Функцию Грина для этой краевой задачи ищем в виде суммы фундаментального решения уравнения теплопроводности и регулярной составляющей, а именно,

.

Первое слагаемое в этом выражении удовлетворяет уравнению теплопроводности по переменным (x, t) и сопряженному с ним уравнению по переменным (x', t), а функция q(x, t, x', t) — удовлетворяет уравнению с начальным условием .

Пусть t¢ = t - t, z = x – l, z¢ = x¢ – l, тогда для q(z, t¢, z¢), имеем следующую краевую задачу

Решим эту задачу операционным методом. Для этого переходим в пространство изображений по Лапласу , тогда задача для регулярной составляющей q(z, t¢, z¢) в пространстве изображений будет иметь вид

, здесь учтено что ,

и его общее решение . Найдем константы.

1) Из условия ограниченности получаем .

2) Из условия получаем .

Таким образом, решение задачи в пространстве изображений имеет вид:

Перейдем к оригиналам, используя формулы операционного исчисления. Тогда

q(z, t¢, z¢)=

Возвращаясь к старым переменным, получаем функцию Грина для 1–ой краевой задачи:

9. Постановка второй краевой задачи для функции Грина в области x > l и нахождение ее решения.

Повторить выкладки пункта №8, рассматривая вторую краевую задачу.

Тогда найдем функцию Грина для 2–ой краевой задачи в виде:

10. Получение интегрального представления решения одномерной задачи теплопроводности с источником в области 0< x < l с помощью функции Грина.

Рассмотрим постановку одномерной задачи. Пусть область имеет вид = {(x, t): 0£ x£ l, t³ 0}. Тогда T(x, t) — температурное поле в области Wt может быть найдено в результате решения задачи

(*)

С граничными условиями первого, второго, третьего рода (соответственно)

или или

Здесь искомое решение . Покажем, как в этом случае записать интегральное представление решения задачи через функцию Грина G(x, t, x¢, t). Для функции Грина G(x, t, x¢, t) по переменным (x', t) имеем следующую задачу

(**)

Рассмотрим равенство учитывая (*), (**), получим

.

Проинтегрируем это равенство по x' Î [0, l ], а затем по t Î [0, t – e], где e > 0 — сколь угодно малое число, тогда

Вынесем в левой части оператор за знак определенного интеграла, а в правой части проведем интегрирование по частям, тогда имеем

затем, переходя к пределу при в левой части этого соотношения, получим

и далее, переходя к пределу при в правой части, имеем формулу, дающую интегральное представление аналитического решения уравнения (*), для всех типов краевых условий

Из этого интегрального представления аналитического решения тепловой задачи видно каким образом следует задавать граничные условия для функции Грина в каждом конкретном случае по переменным :

в случае первой краевой задачи граничные условия для функции Грина G(x, t, x¢, t) имеют вид

,

а интегральное представление аналитического решения уравнения (*) будет иметь вид

в случае второй краевой задачи граничные условия для функции Грина G(x, t, x¢, t) имеют вид

,

а интегральное представление аналитического решения уравнения (*) будет иметь вид

в случае третьей краевой задачи граничные условия для функции Грина G(x, t, x¢, t) имеют вид

,

а интегральное представление аналитического решения уравнения (*) будет иметь вид

Аналогично можно указать граничные условия для функции Грина G(x, t, x¢, t) и интегральные представления аналитических решений уравнения (*) для краевых задач смешанного типа.

11. Получение интегрального представления решения одномерной задачи теплопроводности с источником в области x > l с помощью функции Грина.

Повторить вывод пункта №10, рассматривая область x > l. В результатеинтегральное представление аналитического решения будет иметь вид: