Классы систем единиц измерения. Анализ размерностей и групповой анализ моделей. Формулировка П-теоремы. Понятие параметров подобия. Нахождение периода малых колебаний маятника.

Одно из фундаментальных свойств природных, технологических, экономических и многих других объектов – симметрия (подобие, повторяемость, воспроизводимость). Типичный подход к использованию свойств симметрии – анализ размерностей величин, входящих в модель. Анализируя размерности величин, участвующих в процессе, можно найти зависимости между этими величинами и смоделировать изучаемый процесс. Прежде, чем это показать, дадим необходимые определения.

Опр.1. Система единиц измерения – совокупность основных единиц измерения, достаточных для измерения характеристик рассматриваемого класса явления.

Опр.2. Классом систем единиц измерения называется совокупность систем единиц измерения, отличающаяся между собой только величиной основных единиц измерения.

Опр.3. Размерностью физической величины называется функция, определяющая во сколько раз изменится численное значение этой величины при переходе от исходной системы единиц измерения к другой системе внутри одного класса.

Опр.4. Величины, численные значения которых остаются одинаковыми внутри данного класса, называются безразмерными, а все остальные размерными.

Утверждение1. Внутри данного класса все системы единиц измерения равноправны,

Утверждение2. С вязь между величинами, характеризующими объект, не должна меняться при переходе от одной системы единиц измерения к другой.

Сформулируем основную теорему, на которую опирается вся теория размерностей.

П-теорема. Пусть имеется некоторая функциональная связь , между размерными величинами , где величины имеют независимую размерность, и пусть эта связь не зависит от выбора системы единиц измерения (инвариантна относительно выбора систем единиц измерения.). Тогда эта связь может быть записана в виде П = F(1,...1, П₁,..П _{n - k}), то есть в виде соотношения величинами П, П₁,..., П _{n - k}, представляющими собой безразмерные комбинации из размерных величин следующего вида: П= , П₁= , …, П _{n - k} = (эти величины называются П -комплексами), а показатели степеней в них те же, что и в соответствующих формулах размерностей для размерно зависимых величин , например для .

Применение П – теоремы снижает число величин, фигурирующих в описании объекта и дает способ представления искомой величины a в виде

.

В частности, если , то , то есть для решения получается простое выражение через задаваемые параметры и, чтобы знать точное значение a, требуется только определить константу. Приведем примеры использования этой теоремы.

Пример 1. Определить период малых колебаний маятника. Заметим, что период малых колебаний маятника T не зависит от начального отклонения и скорости, а определяется лишь его длиной l, массой m и ускорением свободного падения g, функциональная связь содержит четыре размерные величины, три из которых имеют независимые размерности. Выберем в качестве таковых T, l, m, где , тогда для размерности g будем иметь или , откуда , что с точностью до безразмерного множителя совпадает с известной формулой для вычисления периода малых колебаний маятника. Попутно мы выяснили, что период не зависит от m.

Определение. Явления называются подобными, если они отличаются только численными значениями определяющих их параметров, причем так, что для них соответствующие безразмерные величины П₁, П₂, …П_n-k (параметры подобия) совпадают.

Пусть есть два явления: натуральное и модельное, при этом есть функциональная зависимость а = f (а ₁,.., а_k, а_{k +1},.. а_n), где а ₁,.., а_k – независимые, тогда, если a ^(p) = f () – реальные величины, а a ^(m) = f () – модельные величины, то, согласно П - теореме, имеем П^(p) = Ф() и П^(m) = =Ф(), то есть

и так как П^(p) = П^(m) , (П – комплексы одинаковы для всех единиц измерения) то возникает формула пересчета, связывающая реальные и модельные величины, а именно: .

Пример 1. Тело модели и тело реального предмета, находящегося в вязкой несжимаемой жидкости, отличаются только размерами. Как будут различаться их скорости?

Рассмотрим определяющие параметры: l – диаметр тела, υ – скорость тела, μ – вязкость жидкости, ρ – плотность жидкости. Они имеют размерности: [ l ] = L, , , , три из них независимы, тогда , таким образом получаем П – комплекс: , имеющий свое собственное имя: – число Рейнольдца. Так как П – комплексы одинаковы для всех единиц измерения, то получаем соотношение

или ,

которое означает, что размеры модели и объекта обратно пропорциональны их скоростям.