Диаметры линии второго порядка

Литература: [1], гл. 17, §7–11 стр. 448–473; [5], гл. 4, §35, 36, стр. 119–125.

Основные сведения

Диаметр , сопряженный вектору , относительно линии второго порядка, заданного общим уравнением, определяется уравнением: .

Направление ненулевого вектора называется сопряженным с ненулевым вектором относительно линии второго порядка, если выполняется равенство:

.

Направление называется главным относительно линии второго порядка, если оно сопряжено с перпендикулярным направлением.

Если , то угловой коэффициент вектора главного направления определяется по формуле: .

Если , то относительно данной линии имеются два и только два главных направления – направления координатных осей.

Если , то данная линия второго порядка является окружностью (вещественного, мнимого или нулевого радиуса), поэтому любое направление является главным.

Вопросы для повторения

1. Сформулировать определение диаметра линии второго порядка, сопряженного данному вектору неасимптотического направления. Поясните, почему в определении используются только вектор неасимптотического направления.

2. Как доказать, что диаметр линии второго порядка есть прямая?

3. Серединой какой хорды является точка M диаметра d, изображенного на рисунке 29?

4. Почему центр линии второго порядка принадлежит любому ее диаметру?

5. Что можно сказать о диаметрах, если линия второго порядка:

1) имеет прямую центров; 2) является нецентральной?

6. Сколько общих диаметров могут иметь: 1) эллипс и гипербола;

2) эллипс и парабола; 3) центральная и нецентральная линии; 4) две центральные линии; 5) две нецентральные линии? Как можно найти общие диаметры кривых второго порядка в каждом из указанных выше случаев?

7. Какое направление называется главным относительно линии второго порядка?

8. Почему направление, перпендикулярное к главному, также является главным?

9. Сколько главных направлений может иметь линия второго порядка? Почему?

10. На схематическом изображении различных линий второго порядка покажите их главные направления.

11. Может ли главное направление линии второго порядка совпадать с асимптотическим?

12. Какой диаметр называется главным диаметром линии второго порядка?

13. Любая ли линия второго порядка имеет главные диаметры?

14. Сколько главных диаметров может иметь линия второго порядка?

Задачи

1. Дана линия второго порядка . Написать уравнение множества середин хорд, параллельных: 1) вектору ; 2) прямой, заданной уравнением ; 3) оси ординат.

2. Линия второго порядка задана уравнением . Написать уравнения диметра, параллельного оси абсцисс, и диаметра, ему сопряженного.

3. Написать уравнение диаметра линии , делящего пополам хорды с угловым коэффициентом .

4. Написать уравнение общего диаметра двух линий второго порядка, заданных уравнениями: .

5. Написать уравнение гиперболы, принимая за оси координат два сопряженных ее диаметра.

6. Доказать, что касательная к гиперболе параллельна тому диаметру, который сопряжен с диаметром, проходящим через точку касания.

7. Доказать, что направления осей координат сопряжены относительно линии второго порядка тогда и только тогда, когда в общем уравнении этой линии отсутствует член с произведением текущих координат.

8. Найти главные направления и написать уравнения главных диаметров линий, заданных уравнениями:

1) ; 2) ;

3) .

9. Найти ось симметрии и вершину параболы, заданной уравнением:

1) ; 2) .

Задачи повышенной трудности

1. Доказать, что любая прямая неасимптотического направления, проходящая через центр центральной линии второго порядка, является диаметром этой линии.

2. Является ли отношение сопряженности относительно линии второго порядка отношением эквивалентности на множестве всех направлений?

Домашнее задание

1. Написать уравнение диаметра линии:

, проходящего через точку K (1, –2).

2. Найти центр линии второго порядка, заданного уравнением:

1) ; 2) .

3. Найти оси линии второго порядка, заданного уравнением:

1) ; 2) .

4. Определить зависимость между угловыми коэффициентами сопряженных направлений:

1) эллипса ; 2) гиперболы .

Тема 3.8. Приведение общего уравнения кривой второго