Порядка к каноническому виду

Литература: [1], гл. 16, §1, стр. 399–403; [7], гл. 4, § 37, 38, стр. 125–134.

Основные сведения

Из определения алгебраической линии следует, что в аффинной системе координат общее уравнение линии второго порядка имеет вид: . Коэффициенты этого уравнения - любые действительные числа, причем хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.

Существует всего девять типов линий второго порядка, представленные в следующей таблице: \

	Название линии	Каноническое уравнение	Центры
1.	Эллипс		Один центр, не принадлежащий линии
2.	Гипербола		Один центр, не принадлежащий линии
3.	Парабола	y 2=2 px	Нет центров
4.	Мнимый эллипс		Один центр, не принадлежащий линии
5.	Пара пересекающихся прямых		Один центр, принадлежащий линии
6.	Пара мнимых пересекающихся прямых		Один центр, принадлежащий линии
7.	Пара параллельных прямых	y 2- a 2=0	Прямая центров, не принадлежащих линии
8.	Пара мнимых параллельных прямых	y 2+ a 2=0	Прямая центров, не принадлежащих линии
9.	Пара совпавших прямых	y 2=0	Прямая центров, принадлежащих линии

Любое общее уравнение кривой 2-го порядка можно привести к каноническому виду путем преобразования координат. Это можно сделать разными способами. Выделим два случая:

1) ; 2) .

В первом случае, для того чтобы привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду и построить точки этой линии, необходимо выполнить следующее:

1) Найти корни характеристического уравнения

.

2) Найти координаты векторов и по формулам: , где .

3) Вычислить коэффициенты и по формулам: .

4) Уравнение линии второго порядка примет следующий вид: .

5) Выделяя полные квадраты привести последнее уравнение к одному из видов: а) ,

б) , в)

г) .

6) Переносом начала координат получить каноническое уравнение линии.

7) Построить систему координат по координатам точки и векторов и и затем построить точки линии в системе по каноническому уравнению.

Если , то преобразования начинаем с пункта 4).

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие схему.

Пример 1. Уравнение x ²+ xy + y ²–3 x –6 y +3=0 привести к каноническому виду и установить, какой геометрический образ оно определяет.

Решение: 1) Характеристическое уравнение для данной линии примет вид . Значит, .

2) .

3) = .

4) .

5)

или

6) Каноническое уравнение линии имеет вид .

Замечание. Если данная линия распадается на пару прямых, то иногда удается без приведения уравнения к каноническому виду разложить левую часть уравнения на множители и найти уравнения тех прямых, которые составляют линию.

Пример 2. Какая линия задана уравнением: ?

Решение. Последовательно преобразуем правую часть следующим образом:

.

Значит, данная линия распадается на пару пересекающихся прямых: .

Пример 3. Определить тип каждого из следующих уравнений, привести уравнения к каноническому виду и установить, какой геометрический тип они определяют:

a) 4 x ²+9 y ²–40 x +36 y +100=0, В) 4 x ²–25 y ²+50 y –24 x –89=0,

b) 9 x ²–16 y ²–36 x +32 y +20=0, D) 4 y ²–8 y –2 x –1=0.

Решение:

a) Здесь и одного знака, следовательно, уравнение определяет эллиптическую кривую.

Для приведения данного уравнения к каноническому виду перепишем его следующим образом:

4(x ²–10 x)+9(y ²+4 y)=–100

и дополним выражения в скобках до полных квадратов:

4(x ²–10 x +25)+9(y ²+4 y +4)=–100+100+36

или после преобразований:

4(x –5)²+9(y +2)²=36.

Теперь перенесем начало системы координат в точку (5, –2).

В новой системе координат последнее уравнение будет иметь вид: или . Это уравнение эллипса с полуосями =3, =2 и с центром в точке (5, –2) (Рис. 30).

b) Здесь и разных знаков, следовательно, данное уравнение определяет гиперболическую кривую. После выделения полных квадратов и введения новой системы координат уравнение кривой можно переписать в следующем виде: . Это уравнение гиперболы с полуосями =5, =2.

c) Здесь и разных знаков, следовательно, данное уравнение определяет гиперболическую кривую. Выделяя полные квадраты, получим 9(x– 2)² – 16(y– 1)² = 0, или раскладывая левую часть на множители:

[3(x– 2) + 4(y– 1)][3(x– 2) – 4(y– 1)] = 0

и окончательно получим:

(3 x +4 y– 10)(3 x– 4 y– 2) = 0.

Данное уравнение определяет две прямые 3 x +4 y– 10 = 0 и

3 x– 4 y– 2 = 0, пересекающиеся в точке (2, 1).

d) Здесь и =0, следовательно, уравнение определяет кривую параболического типа. После выделения полного квадрата с переменной y, получим:

(y– 1)² = (x + ).

Введением новой системы координат ( + , ) упростим последнее уравнение: . Это уравнение определяет параболу с параметром р = .