Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Совместное распределение координат случайного вектора
|
|
Случайный вектор
Совместное распределение координат случайного вектора
Случайный 
-мерный вектор (или многомерная случайная величина) определяется упорядоченным набором случайных величин:
x = (x1, x2,..., x n).
В частности, двумерный случайный вектор определяется парой случайных величин: 
.
Выделим раздельно два вида случайного вектора в зависимости от множества значений его координат: 1) непрерывное множество значений каждой координаты случайного вектора и 2) дискретное (конечное или бесконечной) множество значений каждой координаты. Ради краткости в первом случае такой вектор назовем непрерывным случайным вектором, во втором – дискретным случайным вектором.
Определение. Функцией распределения n -мерного случайного вектора называется функция n аргументов, которая определяется как вероятность пересечения событий x k < xk, k = 1, 2, …, n:
. (1)
Распределение вероятностей, определяемое такой функцией (1), называется совместным распределением координат -мерного случайного вектора.
В частности, функция совместного распределения двумерного случайного вектора :
(x < x) Ç (
< y)). (1.2)
Из этого определения непосредственно следуют свойства функции распределения.
Свойство 1. Функция распределения монотонно не убывает по каждому аргументу.
Свойство 2. Справедливы предельные равенства:
, 
. (1.3)
Свойство 3.
.
Определение. Плотностью распределения двумерного случайного вектора называется вторая смешанная производная функции распределения:
, (1.4)
если она существует. Ясно, что такая производная не всегда существует. В частности, для дискретного случайного вектора плотность распределения не существует.
Приведем выражение функции распределения через плотность распределения:
. (1.5)
Свойства плотности распределения следуют непосредственно из ее определения и свойств функции распределения.
Свойство 1. В каждой точке 
справедливо 
.
Свойство 2. 
. (1.6)
Свойство 3. 
. (1.7)
В случае, когда координаты случайного вектора есть дискретные случайные величины, совместное распределение двумерного случайного дискретного вектора удобно представлять в виде следующей таблицы.
Таблица 1
|
|
| ... |
|
| 
| 
| ... | 
|
| 
| 
| ... | 
|
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 
| 
| ... | 
|
Обозначения: { xi }, { yj } – множества значений случайных величин x и h соответственно; 
– вероятность того, что случайный вектор (x, h) принимает значение (xi, yj).
Приведем свойства распределения дискретного случайного вектора, аналогичные приведенным выше свойствам 1 – 3 случайного вектора с координатами непрерывного типа. Распределение задано табл. 1.
Свойство 1. Для всех 
справедливо 
.
Свойство 2. 
.
Свойство 3. 
Геометрический смысл двумерного случайного вектора состоит в том, что множество значений такого вектора определяет множество точек, координаты которых есть случайные величины .
Примером случайного вектора может служить пара (
, 
), где –амплитуда, – фаза простого гармонического колебания с определенной частотой 
: 
. Амплитуда распределена по нормальному закону 
, фаза распределена равномерно на отрезке 
.