Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Характеристики связи
|
|
Рассмотрим некоторые характеристики случайного вектора, особенно важные в задачах регрессионного анализа. Мы назовем их характеристиками связи.
3.2.1. Коэффициент корреляции
Первой и важнейшей характеристикой связи является уже известный нам из теории вероятностей коэффициент корреляции. Здесь мы уже пользовались этой характеристикой в п. 1.4 и 2.1. Коэффициентом корреляции двух случайных величин x и h, имеющих ненулевые дисперсии Dx ¹ 0, Dh ¹ 0, называется характеристика, определяемая формулой
. (2.8)
Перечислим основные свойства этой характеристики.
Свойство 1. Коэффициент корреляции любой пары независимых случайных величин x, h по абсолютной величине не превосходит единицы: | r (x, h)| £ 1.
Свойство 2. Коэффициент корреляции независимых случайных величин x, h равен нулю: r (x, h) = 0.
Свойство 3. Чтобы случайные величины были связаны собственной линейной зависимостью P(A x + B h + C = 0) = 1, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициент корреляции по абсолютной величине равнялся единице: | r (x, h) | = 1.
Свойство 4. Коэффициент корреляции является характеристикой близости стохастической связи случайных величин к собственной линейной зависимости.
Более точно свойство 4 сформулируем ниже, когда будем рассматривать другую характеристику – остаточную дисперсию.
П р и м е р. Даны три независимые случайные величины 
.Найти коэффициент корреляции случайных величин 
и 
, если 
и ~ N(a 1, s1), 
~ N(a 2, s2), 
~ 
В соответствии с определением имеем:
=
=
= 
= 
.
Как видим, коэффициент корреляции зависит только от отношения дисперсий координат случайного вектора (, 
). Этот интересный результат следует запомнить. Приведем его интерпретацию в неформальных терминах. Пусть x – измеряемая величина, 
– помеха. В какой мере эта помеха влияет на характеристику линейности зависимости случайных величин x (основная) и z= + (с учетом помехи)? Оказывается, что влияние помехи, как мы видели, измеряется отношением дисперсии помехи к дисперсии величины x. Естественно, что в предельных случаях, когда Dh = 0 и Dh = ¥, коэффициент корреляции равен соответственно 1 и 0.
3.2.2. Корреляционное отношение
Чтобы ввести эту характеристику, представим дисперсию случайной величины h в следующем виде:
Dh = M(h – Mh)2 = M(h – j(x))2 + M(j(x) – Mh)2, (2.9)
где j(x) – функция регрессии h на x.
Корреляционным отношением случайной величины h на случайную величину x называется отношение
= 
. (2.10)
Из определения корреляционного отношения (2.10) и выражения (2.9) замечаем, что
= 1 – 
. (2.11)
Свойства корреляционного отношения, легко выводимые из определения, выясняют его вероятностный смысл.