Иначе говоря, с вероятностью 1 справедливо равенство

a₁x₁ + a₂x₂ +... + a _n x _n = 0. (3.2)

В этом случае будем говорить, что между координатами случайного вектора x имеет место собственная линейная зависимость.

2. Рассмотрим теперь случай, когда координаты случайного вектора некоррелированные, т. е. для всех i, j c_ij = 0, если i ¹ j. Тогда матрица С – диагональная, Поэтому ее определитель не равен нулю. Очевидно, имеет место некоррелированность каждой компоненты случайного вектора с линейной комбинацией остальных.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Чтобы между компонентами случайного вектора имела место собственная линейная зависимость, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы его ковариаций был равен нулю.

Теорема 2. Чтобы существовала единственная функция линейной среднеквадратичной регрессии случайной величины x _n на x₁, x₂,..., x _{n –1}, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы ковариаций случайного вектора (x₁, x₂,..., x _{n –1}) был не равен нулю.

Иначе говоря, для существования единственной линейной функции a₁x₁ + a₂x₂ +... + a _{n -1}x _{n -1} наилучшего в смысле среднеквадратичного приближения случайной величины x _n, необходимо и достаточно, чтобы компоненты случайного вектора (x₁, x₂,..., x _{n –1}) не были связаны линейной зависимостью.

Доказательство. По своему содержанию теоремы аналогичны соответствующим утверждениям линейной алгебры. Как видим, имеет место полная аналогия нашей задачи с задачей представления вектора в линейном векторном пространстве в виде линейной комбинации других векторов. Известно, что наиболее просто коэффициенты линейной комбинации определяются относительно ортогональной системы векторов. В нашем случае такой системой является система случайных некоррелированных величин. Заметим, что второй смешанный центральный момент обладает свойствами, аналогичными свойствам скалярного произведения векторов [11, 13].

Определим коэффициенты наилучшего среднеквадратичного приближения в ситуации, когда компоненты случайного вектора (x₁, x₂,..., x _{n –1}) не коррелированы. Этот случай назовем ортогональным представлением случайной величины. Известными из линейной алгебры средствами получим:

(2.3)

где c_kn – ковариация случайных величин x _n и x _k; – дисперсия случайной величины x _k.

Удобнее записать выражение для коэффициентов (2.3) через коэффициент корреляции r_{n k} случайных величин x _n и x _k. Ради этого формулу (1.17) запишем в виде:

r_{n k =} . (2.4)

Тогда коэффициенты наилучшего линейного среднеквадра-тичного приближения примут вид:

= , (2.5)

и получим уравнение линии среднеквадратичной регрессии:

. (2.6)

В общем случае, если отказаться от условия Mx _k = 0 и положить Mx _k = m_k, k = 1, 2,... n, получим уравнение

. (2.7)

Заметим, что уравнения линий регрессии (1.19) и (1.20) суть частный случай этого уравнения, когда n = 2.