Линейные электрические цепи однофазного синусоидального тока

1.1 Основные теоретические сведения.

1. Гармоническим током называют переменный периодический ток, изменяющийся во времени по синусоидальному (косинусоидальному) закону (рис.1).

Мгновенное значение гармонического тока (напряжения, ЭДС):

,

где I_m - амплитуда гармонического тока (максимальное значение), А;

w = 2p f - угловая частота (скорость изменения фазы тока), с^{− 1};

f = 1/T - частота (число периодов в секунду), Гц;

- период (время одного полного колебания), с;

- фаза (аргумент синусоидального (косинусоидального) тока, отсчитываемый от точки перехода тока через нуль (максимум) к положительному значению), рад;

- начальная фаза (значение гармонически изменяющегося тока в начальный момент времени t = 0), рад.

2. Среднее значение гармонически изменяющегося тока (напряжения ЭДС) - значение, соответствующее положительной полуволне:

.

Действующее значение гармонически изменяющегося тока (напряжения ЭДС) - среднеквадратичное значение за период:

.

Коэффициент амплитуды:

.

Коэффициент формы:

.

3. Мгновенные значения напряжений источников ЭДС, токов источников тока можно заменить соответствующими комплексными значениями:

заменяют на ;

заменяют на .

Комплексное сопротивление цепи:

,

где - отношение действующего или амплитудного напряжения к действующему или амплитудному току, называют полным сопротивлением цепи, равным модулю комплексного сопротивления (абсолютная величина | |).

С другой стороны:

(z cos j + jz sin j)× (z cos j – jz sin j) = (R + jX)× (R – jX) Þ .

Величины R + jX и R - jX называют сопряженными.

Аргументом служит угол между осью действительных значений и вектором изображающим комплексную величину и равный разности начальных фаз напряжения и тока: .

.

Комплексная проводимость цепи:

.

Положив

,

получим

,

где − полная проводимость цепи.

С другой стороны:

(y cos j + jy sin j)× (y cos j − jy sin j) = (G + jB)× (G − jB) Þ .

.

4. Мгновенная мощность цепи:

p = ui = U_m sin wt × I_m sin(wt – j) = UI cos j – UI cos(2 wt – j),

где начальная фаза напряжения , а начальная фаза тока .

Активная мощность - среднее значение мгновенной мощности за период:

.

Полная мощность - произведение действующих значений напряжения и тока:

S = UI.

Коэффициент мощности - отношение активной мощности к полной:

.

Реактивная мощность:

,

положительна при j > 0 и отрицательна при j < 0.

Активную, полную и реактивную мощности связывают соотношения:

.

5. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме:

.

1.1

По цепи рис. 1.1.1 протекает синусоидальный ток с амплитудой Im = 1, 41 А; f = 50 Гц; R = 100 Ом; C = 31, 8× 10-6 Ф.