Метод контурных токов

Расчет сложных электрических цепей методом контурных то­ков сводится крешению системы уравнений, составленных только по второму закону Кирхгофа. Этих уравнений получается только n = в — (y — 1), т. е. на (y —1) меньше, чем при расчете цепи методом урав­нений Кирхгофа. Это облегчает рас­чет сложных цепей.

Сущность этого метода рассмот­рим на примере расчета цепи, схема которой приведена на рис. 2.23. Си­стема уравнений, составленных для этой цепи по первому и второму зако­нам Кирхгофа, имеет вид:

(2.31)

Исключим из этой системы уравнений ток I₃, протекающий вветви, входящей одновременно в два контура. Этот ток равен

I₃=I₁-I₂.

Подставив его в уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, получим:

или

Эта система уравнений дает основание считать, что в каждом независимом контуре протекает свой, так называемый контурный ток, который независимо от других токов создает падение напря­жения на тех сопротивлениях цепи, по которым он протекает. Контурные токи обычно обозначаются буквой I с римскими индек­сами. В рассматриваемой схеме, приведенной на рис. 2.23, направ­ление контурных токов I_I и I_II показано стрелками внутри кон­туров. Эти токи равны токам в ветвях I₁ и I ₂, по которым проте­кает только один из контурных токов, т. е. I_I=I₁ и I_II=I₂

При расчете электрических цепей рассматриваемым методом кроме контурных токов вводят еще ряд понятий: контурные э. д. с., собственные и взаимные сопротивления.

Контурной э. д. с. называют алгебраическую сумму всех э. д. с. контура. При этом обход контура производят по направлению кон­турного тока и э. д. с. берут со знаком «плюс», если ее направление совпадает с направлением контурного тока, и со знаком «минус», если эти направления противоположны. Контурные э. д. с. обычно обозначают буквой Е с римскими индексами, которые соответ­ствуют номерам контуров.

В рассматриваемом примере контурные э. д. с. E_I = Е₁ и Е_II =-E₂

Собственным сопротивлением контура называют сумму всех сопротивлений, входящих в данный контур. При этом каждое со­противление берется с положительным знаком. Собственные со­противления контуров обозначаются буквой rс двойными индек­сами, соответствующими номеру контура.

В рассматриваемом примере собственные сопротивления кон­туров r₁₁ = r₁+r₃ и r ₂₂= r₂+r₃.

Взаимными сопротивлениями контуров называют сопротивле­ния, одновременно входящие в два разных контура. Они обозна­чаются буквой r с двумя индексами, первый из которых соответ­ствует номеру рассматриваемого контура, а второй — номеру кон­тура, имеющего общее сопротивление с рассматриваемым конту­ром. Взаимные сопротивления считаются положительными, если контурные токи, протекающие по этим сопротивлениям, имеют одинаковое направление, и отрицательными, если направления контурных токов противоположны.

В рассматриваемом примере взаимное сопротивление первого контура со вторым r₁₂=-r₃, а второго контура с первым r₂₁=-r₃. Отсюда видно, что r₂₁=-r₂₁, т. е. взаимные сопротивления, отличаю­щиеся одно от другого порядком индексов, равны между собой. Это справедливо только для электрических цепей, не содержащих зависимых источников э. д. с. или тока.

C учетом введенных понятий систему уравнений (2.33) для рассматриваемого примера можно записать в виде:

(2.34)

Решив эту систему уравнений, найдем контурные токи I_I и I_II. Если некоторые из этих токов получаются отрицательными, то их действительные направления будут противоположны первона­чально принятым положительным направлениям. Зная контурные токи, можно найти токи в ветвях. Если в ветви протекает только один контурный ток, то истинный ток в ветви будет равен этому току. Токи в ветвях, по которым протекают несколько контурных токов, равны их алгебраической сумме.

В общем случае для электрической цепи, содержащей п неза-. висимых контуров, система контурных уравнений имеет вид:

(2.35)

где -собственное сопротивление k-го контура;

r_hj — взаимное сопротивление k-го и j-го контуров;

E_k — контурная э.д.с. k-го контура.

Решая эту систему уравнений с помощью определителей, най­дем ток в любом k-м контуре

(2.36)

где Δ — определитель системы:

Этот определитель для пассивных цепей, не содержащих зави­симых источников э. д. с. и тока, симметричен относительно его главной диагонали, так как для таких цепей любые взаимные со­противления r_kj и r_jk равны между собой.

Определитель получается из определителя Δ путем замены k-го столбца свободными членами:

Разлагая в выражении (2.36) определитель Δ _k по элементам k-го столбца, получим

(2.37)

где Δ _jk — алгебраическое дополнение определителя системы, кото­рое получается путем вычеркивания в нем j-й строки и k-го столбца и умножения на (—l)^j+k

При расчете электрических цепей методом контурных токов целесообразно придерживаться следующего порядка:

1. Выбрать независимые контуры цепи и указать положитель­ные направления контурных токов в них.

2. Вычислить собственные и взаимные сопротивления контуров, а также контурные э. д. с.

3. Составить систему уравнений для контурных токов в соот­ветствии со вторым законом Кирхгофа.

4. Решить полученную систему уравнений одним из извест­ных методов, т. е. определить контурные токи.

5. Определить токи в ветвях. Рассмотрим это на примере.