Пример 2.5.

В электрической цепи, схема которой приведенана рис. 2.23, дан о: E₁ = 6 В; E₂ = 3 В; r₁=r₂=r₃= 1 Ом. Требуется определить токи в ветвях.

Решение.

В схеме два независимых контура. Покажем положительные направления контурных токов I_I и I_II ·. стрелками на схеме цепи. Собственные сопротивле н ия контуров Ом; Ом.

Взаимные сопротивления Ом.

Контурные э. д. с. E _I = E ₁= 6 В; Е _II = e ₁ = -3 В.

Подставив эти значения в стандартную форму системы контурных урав­нений (2.34), получим:

Из первого уравнения .

Подставим это во второе уравнение, п о лучим:

А;

Токи в ветвях:

А; ; А

Выше предполагалось, что источники энергии заданы в виде источников э.д. с. Если же по условиям задачи часть источников энергии будет задана в виде источников тока, то эти источники можно заменить согласно правилу, изложенному в подразд. 2.3, эквивалентными источниками э. д. с. или же рассчитать электриче­скую цепь с заданными источниками тока. В последнем случае N_T независимых контуров целесообразно выбирать таким обра­зом, чтобы каждый из них включал один источник тока. Контурные токи в этих контурах будут равны токам источников. Осталь­ные k=в—(y— 1 )—N_T независимых контура следует выбирать та­ким образом, чтобы в них не входили ветви с заданными источ­никами тока. Для определения контурных токов в последних кон­турах для них составляются по второму закону Кирхгофа k урав­нений.

Система контурных уравнений (2.35) может быть записана в матричной форме:

(2.38)

Где — квадратная матрица сопротивлений цепи порядка п;

— матрица-столбец искомых контурных токов;

|| Е ||— матрица-столбец контурных э. д. с., причем:

Для того чтобы решить матричное уравнение (2.38), умножим обе его части слева на обратную матрицу ||r||^-1:

Так как = , то

(2.40)

При решении несложных задач по расчету электрических це­пей применять матричный метод не всегда целесообразно. Однако этот метод вобщем случае имеет ряд преимуществ. Матричная форма записи более экономна в отношении занимаемого ею места и действий над нею. Такой вид записи открывает более широкие возможности для решения уравнений с помощью вычислительных машин.

Взаключение следует отметить, что контурные токи вобщем случае являются расчетными величинами, а реально существующими токами являются токи, протекающие в ветвях электрической цепи.

Достоинством рассмотренного метода контурных токов является меньшее число уравнений по сравнению с методом уравне­ний Кирхгофа и возможность формализации решения, что позво­ляет рассчитывать очень сложные электрические цепи с примене­нием вычислительных машин.