Метод узловых потенциалов

Расчет сложных электрических цепей методом узловых потен­циалов, или узловых напряжений, сводится к решению системы уравнений, составленных только по первому закону Кирхгофа. Из этих уравнений определяют напряжения в узлах схемы электрической цепи отно­сительно некоторого базисного узла, по­тенциал которого принимают равным нулю, а токи в ветвях, соединяющих узлы, находят по закону Ома.

Сущность этого метода рассмотрим на примере электрической цепи (рис. 2.26), источники энергии которой заданы в виде источников тока.

Потенциал одного из узлов, напри­мер нулевого, зафиксируем и будем считать его равным нулю. Та­кой узел обычно называют базисным узлом. При этом потенциалы остальных узлов будут равны напряжениям между этими узлами и базисным узлом.

Выбрав положительные направления токов составим уравне­ния по первому закону Кирхгофа для незаземленных узлов:

где g ₁ = l/ r ₁; g ₂ =1/r₂; g₃= l/r₃.

Учитывая, что φ θ =0, после преобразования получим:

Обозначив g ₁₁ = g ₁ + g ₃; g ₂₂ = g ₂ + g ₃ ; g ₁₂ = g ₂₁ =- g ₃

получим:

g₁₁φ ₁ + g₁₂φ ₂ = J₁;

g₂₁φ ₁ + g₂₂φ ₂ = J₂. ⁽²·⁴¹⁾

В общем случае для электрической цепи, имеющей гс+1 узлов, система уравнений для определения узловых потенциалов будет иметь вид:

g₁₁φ ₁ + g₁₂φ ₂ +... + g_1nφ _n = J₁;

g₂₁φ ₁ + g₂₂φ ₂ +... + g_2nφ _n = J₂;

.......................... (2.42)

g_n1φ ₁ + g_n2φ ₂ +... + g_nnφ _n = J_n,

где g_kk — собственная проводимость k-гo узла, равная сумме проводимостей всех ветвей, соединенных с этим узлом; эта проводимость всегда положительна;

g_kj — взаимная проводимость между k-м и j-м узлами, равная сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы; эта проводимость при выбранном направлении всех уз­ловых напряжений к базисному узлу для цепей, не со­держащих зависимых источников электрической энер­гии, всегда отрицательна;

J_k — узловой ток k-ro узла, равный алгебраической сумме то­ков источников тока, подсоединенных к fe-му узлу, эти токи берутся со знаком «плюс», если они направлены к узлу, и со знаком «минус», если направлены от узла. Выше предполагалось, что источники электрической энергии заданы в виде источников тока. Если в схеме электрической цепи часть источников задана в виде источников э. д. с., то эти источ­ники необходимо заменить согласно правилу, изложенному в под-разд. 2.3, эквивалентными источниками тока. Эту замену можно произвести и мысленно, без изменения схемы цепи: оставить в ветви, содержащей источник э. д. с., имеющиеся в ней сопротив­ления, а при определении узловых токов учесть, что между узлами рассматриваемой ветви подсоединен источник тока, ток которого равен произведению э. д. с. на суммарную проводимость ветви.

В случае если какая-нибудь ветвь содержит идеальный источ­ник э. д. с., τ. е. ее сопротивление равно нулю, и, следовательно, напряжение между двумя узлами задано, целесообразно в каче­стве базисного узла выбрать один из узлов данной ветви. В этом случае число неизвестных узловых напряжений и, следовательно, число узловых уравнений сократится на единицу.

Для пассивных цепей всегда справедливо равенство g_kj=g_jk а для активных цепей это равенство может оказаться несправед­ливым. Это будет рассмотрено в разд. 12.

Решив одним из известных методов систему уравнений (2.42), найдем потенциалы узлов, зная которые можно по закону Ома найти токи в ветвях.

Система уравнений узловых потенциалов (2.42) может быть записана в матричной форме:

||g|| ||φ ||=||J||, (2.43)

где

Решая это уравнение относительно матрицы ||φ ||, получим

||φ ||=||g||^-1||J||

При расчете электрических цепей методом узловых потенциа­лов целесообразно придерживаться следующего порядка:

1. Принять потенциал одного из узлов равным нулю, т. е. заземлить один из узлов и пронумеровать по порядку остальные узлы.

2. Вычислить узловые токи.

3. Определить собственные и вза­имные проводимости узлов.

4. Составить и решить систе­му уравнений узловых потенциа­лов.

5. Найти токи в ветвях. Рассмотрим это на примере.