Мощность в цепи синусоидального тока

Произведение мгновенного значения приложенного к цепи на­пряжения u(t) на мгновенное значение протекающего по ней тока i(t) называют мгновенной мощностью.

Для напряжений и токов, изменяющихся по синусоидальному закону, получим

Использовав соотношения и для простоты приняв ψ _u = 0, после преобразований получим

(3.24)

Из этого выражения видно, что мгновенная мощность в цепи синусоидального тока имеет постоянную и переменную составляю­щую, изменяющуюся во времени с удвоенной частотой.

Графики мгновенной мощности для трех различных значений сдвига фаз между напряжением и током приведены на рис. 3.22.

При (рис. 3.22, а) мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону относительно прямой UIcоsφ с ча­стотой, вдвое большей частоты тока и напряжения, имея положи­тельные и отрицательные участки. Положительные значения мощ­ности соответствуют поступлению энергии в цепь, где она частично запасается в электрических полях конденсаторов и магнитных по­лях индуктивных катушек и частично расходуется в цепи, выде­ляясь в виде тепла в активных сопротивлениях или преобразуясь в другие виды энергии (механическую, химическую и т. д.). Отри­цательные значения мощности соответствуют возвращению энер­гии, запасенной в цепи, ё источник. В рассмотренном случае энер­гия, поступающая от источника в цепь, больше энергии, возвра­щаемой из цепи к источнику, так как часть ее расходуется в цепи.

При φ =0 (рис. 3.22, 6) мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону относительно прямой UI также с удво­енной частотой, являясь все время положительной. Энергия в этом случае только поступает в цепь. Такая цепь по отношению к ее входным зажимам эквивалентна цепи, содержащей только актив­ные сопротивления. Если же в цепи при φ =0 имеются конденса­торы и индуктивные катушки, например при резонансе напряже­ний, то между ними происходит взаимный обмен энергией без воз­вращения к источнику.

При φ =π /2 (рис. 3.22, в) мгновенная мощность изменяется по гармоническому закону относительно оси времени также с удво­енной частотой. Положительные и отрицательные участки мощно­сти равны между собой. Следовательно, в этом случае вся энергия,

поступившая в цепь, возвращается обратно в источник. Такая цепь содержит лишь идеальные элементы L и С.

Среднее значение мгновенной мощности за период

(3.25)

называют активной мощностью.

Для цепи синусоидального тока после подстановки в фор­мулу (3.25) выражения для мгновенной мощности (3.24) и интег­рирования получим

P=UIcosφ, (3.26)

т. е. активная мощность в цепи с синусоидальным током и напря­жением равна произведению действующих напряжения, тока и ко­синуса угла сдвига фаз между напряжением и током. Она харак­теризует энергию, которая передается от источника к нагрузке, где она превращается в другие виды энергии. Она измеряется в ваттах (Вт). Множитель cosφ называют коэффициентом мощ­ности. Чем больше cosφ, тем больше активная мощность при за­данных значениях U и I. Использовав соотношения (3.9) — (3.11), для активной мощности можно получить

P = rI² = gU²,

где г и g — активное сопротивление и активная проводимость цепи.

Величину, равную при синусоидальных токе и напряжении про­изведению действующих напряжения, тока и синуса угла сдвига фаз между напряжением и током, называют реактивной мощ­ностью:

Q = UIsin φ. (3.27)

Реактивная мощность характеризует энергию, которая перио­дически циркулирует между источником и нагрузкой. Она изме­ряется в вольт-амперах реаривных (вар). При φ > 0, τ. е. при индуктивной нагрузке, реактивная мощность положительна, а при φ < 0, т. е. при емкостной нагрузке, отрицательна.

Использовав соотношения (3.9) —(3.11), для реактивной мощ­ности можно получить

Q = x I² = bU²,

где x и b — реактивное сопротивление и реактивная проводимость цепи.

Величину, равную произведению действующих напряжения U и тока I, называют полной мощностью:

S=UI. (3.28)

Полная мощность измеряется в вольт-амперах (В· А) и харак­теризует предельную активную мощность источника при cos φ =l.

Учитывая, что U=zI=I/y, получим

S=zI²=yU²,

где z и у — полное сопротивление и полная проводимость цепи. Сложив квадраты активной (3.26) и реактивной (З.27) мощно­стей, получим

Р² + Q² = U² I ² =S² или .

Из выражений (3.26) и (3.28) получим cosφ =P/UI=P/S, т. е. коэффициент мощности cos φ показывает, какую часть от пол­ной мощности составляет активная мощность. Произведение комплексного напряжения на сопряженный комплексный ток называют комплексной мощностью:

Из этого выражения видно, что вещественная часть комплекс­ной мощности является активной, а мнимая часть — реактивной мощностью. Модуль комплексной мощности является полной мощ­ностью.

Особое обозначение комплексной мощности (S) выбрано для того, чтобы подчеркнуть условный характер этой комплексной величины, так как от комплексной мощности нельзя перейти к ее мгновенному значению таким образом, как это делается для то­ков и напряжений. Эта величина вводится только для облегчения решения задач.

В заключение найдем условия передачи максимальной актив-ной мощности от источника в нагрузку. Для этого рассмотрим цепь синусоидального тока, состоящую из источника э. д. с. Е с внутренним сопротивлением и нагрузки Z_H= = r_н+jx_н (рис. 3.23).

Действующий ток в рассматриваемой цепи

(3.30)

Активная мощность в нагрузке

(3.31)

Из этого выражения видно, что первым условием передачи максимальной активной мощности от источника в нагрузку яв­ляется т.е. равенство по величине и противополож­ность знаков реактивных сопротивлений источника и нагрузки. При выполнении этого условия из выражения (3.31) получим

з. (3.32)

Взяв производную от этого выражения по r_н и приравняв ее к нулю, получим второе условие: r_н=r_вн, т. е. активное сопротив­ление нагрузки должно быть равно активному сопротивлению источника.

Таким образом, для получения максимальной активной мощ­ности на нагрузке при заданных параметрах источника необхо­димо, чтобы сопротивление нагрузки было комплексно-сопряжен­ным с внутренним сопротивлением источника, т. е. активное со­противление нагрузки г_н должно быть равно активному сопротив­лению источника r _вн, а реактивные сопротивления должны быть равны по величине и иметь противоположные знаки. Активная мощность на нагрузке в этом случае будет максимальной и рав­ной . При этом коэффициент полезного дей­ствия будет равен

Сопротивление нагрузки, при котором на ней получается мак­симальная активная мощность, называется согласованным. Режим в цепи в этом случае также называют согласованным.