К задаче 1.1

а) Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду при помощи элементарных преобразований матрицы, выполненных над строками:

Здесь оставили первую строку без изменения, затем первую строку умножили на (− 3), а вторую на 2, сложили их и записали второй строкой, после чего первую строку умножили на 2, сложили с третьей строкой и записали третьей строкой.

Затем, оставив первую и вторую строки без изменений, умножим вторую строку на (− 5), а третью – на 7, сложим их и запишем третьей строкой:

Ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен количеству неизвестных

Система совместна, имеет единственное решение.

Поставим в соответствие расширенной матрице систему, эквивалентную исходной, решение которой совершаем снизу вверх:

Из третьего уравнения получим . Подставляя значение во второе уравнение, получим . Подставляя значения и в первое уравнение, получим .

Ответ: (2; 1; 1).

б) Решим систему уравнений по формулам Крамера. Формулы Крамера имеют вид:

где – определитель системы, ; получим из определителя системы, заменой i -го столбца столбцом свободных членов.

.

124,

,

Значит, по формулам Крамера

в) Решим систему с помощью обратной матрицы. Запишем систему в матричной форме

Найдем обратную матрицу . Определитель системы , значит, матрица невырожденная и имеет обратную матрицу, определяемую по формуле

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы:

Таким образом,

и искомое решение имеет вид