К задаче 1.2

Выпишем матрицу системы и выполним элементарные преобразования строк матрицы. Для этого поочередно первую строку умножим на (–3), (–1) и (–5) и сложим соответственно со второй, третьей и четвертой строками. Затем умножим вторую строку преобразованной матрицы на (–1) и сложим ее с третьей и четвертой строками. В результате получим матрицу с двумя нулевыми строками.

~ ~ ~ .

Ранг матрицы A равен 2 и меньше количества неизвестных . Следовательно, система имеет нетривиальное решение.

Базисный минор – , базисные переменные – ; свободные переменные – . Сокращенная система имеет вид

Û Û Û

Û

Пусть . Получим общее решение в виде:

Положив и , из общего решения получим фундаментальную систему решений:

К задаче 1.3

.

1) Определим координаты вектора :

;

.

Определим длину вектора :

2) Найдем скалярное произведение векторов :

.

3) Косинус угла между векторами найдем по формуле

Длины векторов равны

Значит, по формуле (1)

.

4) Имеем

.

5) Площадь параллелограмма, построенного на векторах

(кв. ед.).

Площадь треугольника, построенного на векторах

6) Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен

Объем пирамиды, построенной на векторах , равен