Равенство функций

Определение 1.5. Функции называются равными на множестве S,

Если они определены на множестве S и для каждого аргумента справедливо равенство .

Пример 1.5. Функции на множестве не равны, так как в точке они не равны. Эти же функции, рассматриваемые на множестве равны, так как и поэтому .

Определение 1.6. Функция называется ограниченной, если её область значений есть ограниченное множество или .

График ограниченной функции лежит между горизонтальными прямыми (рис3)

График функции , изображённый на рис. 3 расположен между прямыми . Следовательно .

Функция ограниченная функция.

рис.3

Например, линейные функции неограниченные функции. Функция из примера3.2 ограниченная функция . Функция из примера3.3 ограничена

сверху , но неограниченна снизу. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

Определение 1.7. Число из области задания функции называется нулём функции, если значение функции .

Например, числа являются нулями функции (рис.4).

рис.4

Определение 1. 8 Функция имеет локальный максимум в точке , если существует открытый интервал , содержащий эту точку и такой, что для всех из этого и нтервала.

Функция имеет локальный минимум в точке , если существует открытый интервал , содержащий эту точку и такой, что для всех из этого интервала. Локальный максимум или локальный минимум

называют локальными экстремумом.

Рис.5

Замечание. Точка из определения 1 называется точкой локального экстремума.

Значение функции в этой точке называется значением локального экстремума.

Упражнение. Определите на рис.5 какие локальные экстремумы данной функции изображены. Определите также точки локальных экстремумов и значения локальных экстремумов.