Монотонные функции

Определение 1.11. Функция называется возрастающей на интервале , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть, если .

Определение 1.12. Функция называется убывающей на интервале , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. То есть, если

.

Функции, убывающие или возрастающие на интервале, называются монотонными функциями.

Пример 1.9. Доказать, что функция является убывающей.

Решение. Данная функция задана при . Проверим для неё определение 1.11.

Согласно определению возьмем произвольные аргументы и

рассмотрим разность значений функции в этих точках

Оба сомножителя отрицательные величины. Следовательно, их произведение величина положительная и тогда . По определению 1.11 данная функция убывающая.

С ростом значения уменьшаются.

Пример 1.10. Доказать, что функция возрастающая.

Решение. Функция задана в области . Возьмем произвольные . Сравним значения функции в этих точках

Следовательно, функция возрастающая.