Загальне поняття виробничої функції

Основні характеристики економіко-математичних моделей

Нагадаймо, що економіко-математичні моделі вирізняються серед інших математичних моделей тим, що об’єктом моделювання є економічні процеси, а сама модель відображає економічні взаємозв’язки та відносини, що існують у реальній дійсності (в реальних процесах та явищах). Здійснюючи ідентифікацію та інтерпретацію економіко-математичних моделей, використовують економічні показники.

Кожна економіко-математична модель реального явища харак­теризується:

а) об’єктом моделювання;

б) системним описом об’єкта;

в) цілями щодо побудови моделі;

г) принципами моделювання;

д) апаратом моделювання;

є) способами ідентифікації й інтерпретації результатів.

Об’єктом моделювання може бути або реальна господарська система, або один чи кілька процесів, що розвиваються в такій системі. Для побудови моделі треба не просто вказати найменування об’єкта, а й дати його опис у вигляді системи, тобто виявити суттєві грані його взаємодії із зовнішнім середовищем, його структуру. Моделі, що відображають (заміщують) один і той самий об’єкт з різних поглядів, слід вважати різними.

Нагадаймо також, що поняття адекватності моделі має кілька різних граней. По-перше, можна вести мову про адекватність моделі щодо досліджуваного реального процесу, розуміючи під цим ступінь відповідності його характеристик характеристикам об’єк­та. По-друге, потрібно оцінювати адекватність моделі щодо по­ставленої задачі (цілей).

Апарат моделювання визначається типом математичних конструкцій, що використовуються для побудови моделі. Найпоширенішими є моделі, побудовані за допомогою апарату лінійної алгебри, регресійного аналізу, лінійних диференційних рівнянь. Інколи кажуть про специфічний апарат — «апарат виробничої функції». Вибір того чи іншого апарату економіко-математич­ного моделювання значною мірою ґрунтується на гіпотезах, що покладені в основу побудови моделі.

Загальне поняття виробничої функції

Нашим завданням є виокремити з множини моделей виробничу функцію (ВФ) як особливий вид економіко-статистичних моделей. Розгляньмо з цією метою зміст кожної з ознак: А—Е (п. 5.2)[1]:

А. Об’єкт моделювання. Безпосереднім об’єктом моделювання щодо ВФ є процеси виробництва продукції в реально функціонуючих протягом певного відрізку часу господарських системах на підприємстві (фірмі), в галузі, регіоні чи в народному господарстві загалом. Відповідно, щодо рівня модельованої системи виробничі функції поділяються на макроекономічні, регіональні, галузеві, а також виробничі функції підприємства.

У низці випадків як самостійний об’єкт моделювання розгля­дається не вся господарська система, а її частина, що складається з технічно відносно однорідних виробничих одиниць.

Б. Системний опис об’єкта. У теорії виробничих функцій виробничий процес аналізується з погляду перетворення ресурсів у продукт (продукцію). Входами є потоки ресурсів різноманітного виду, повністю чи частково використовувані у виробництві, виходом — готова до реалізації продукція. Функціонуючі в системі ресурси (чинники), технологія та умови організації виробництва визначають потенційні можливості та стан процесу (системи).

В. Цілі моделювання. ВФ будується для розв’язання певних економічних задач, що стосуються аналізу, прогнозування й планування (у вузькому розумінні слова). Використовуються ВФ як самостійно, так і в складі більш загальних економіко-математичних моделей. Мету побудови ВФ можна охарактеризувати як аналіз чинників щодо суттєвого впливу їх на обсяги випуску продукції.

Однак у кожній конкретній ситуації ця мета має свої особливості, що істотно впливають на процес побудови функції. Доцільно розрізняти такі можливі способи використання ВФ:

1) визначення обсягів випускуза фіксованих обсягів та показників основних ресурсів (випадок, коли ці обсяги несуттєво відрізняються від тих, що спостерігались у минулому);

2) те саме щодо випадку обсягів ресурсів, котрі суттєво відрізняються від усіх, що спостерігалися в минулому;

3) визначення обсягів випуску за заданих значень обсягів ресурсів, що належать до деякої неперервної області (зокрема таких, що змінюються в заданих межах);

4) визначення впливу на обсяг випуску малої зміни обсягів одного чи кількох ресурсів;

5) визначення (виявлення) характеристик виробничого процесу, що виражається через параметри ВФ.

Г. Принципи моделювання. В основі найпоширенішого поняття ВФ лежать принципи, котрі виражають роль аксіоматичних положень теорії виробничих функцій:

1) обсяг випуску продукції, виробленої даною виробничою си­стемою за певний період, визначається обсягами засобів та предметів праці й живої праці, що беруть участь у процесі виробництва впродовж цього періоду;

2) зв’язок між обсягами випуску й обсягами засобів праці, предметів праці й живої праці є для даної виробничої системи закономірним і відносно стійким;

3) у низці випадків додатково береться гіпотеза, що в певних межах будь-яка незалежна зміна аргументів ВФ допускає реальну інтерпретацію.

Д. Апарат моделювання. Основним «матеріалом» для побудови виробничої функції є залежності y = f (x ₁,..., x_n), де y — показник випуску (обсяг), x ₁,..., x_n — обсяги виробничих ресурсів (чинників) (кількість чинників ВФ, як правило, не перевищує 10). Функція f (·) вважається визначеною в досить широкій області n -мірного евклідового простору (Rⁿ) та такою, що обчислюється в області свого визначення. Останнє означає, що системний аналітик повинен мати у своєму розпорядженні алгоритм, який дозволяв би обчислювати значення f (·) у будь-якій точці, де вона визначена. Як правило, ВФ y = f (x ₁,..., x_n) будується шляхом підбору найбільш адекватних функцій із певного параметричного класу F = { y = f (x ₁,..., x_n, a ₁,..., a_k)} = f (x, a), де a = (a ₁,..., a_k) — вектор параметрів.

Отже, безпосереднім апаратом моделювання в межах даної концепції ВФ є параметричні класи функцій, що залежать від змінних. Як правило, залежність функції f (·) від змінних і параметрів задається в явному вигляді (або режимі) чи у вигляді функціональних диференціальних чи інтегральних рівнянь.

Е. Ідентифікація й інтерпретація моделі. Змінні y, x ₁,..., x_n ототожнюються з показниками обсягів випуску й основними, які беруть участь у виробництві, чинниками (ресурсами). Припускається можливість специфікації параметрів a ₁, …, a_k ВФ на підставі статистичних (чи експертних) даних щодо ресурсів та випуску продукції за попередні періоди, а також планових і опосередкованих даних. Метод оцінки параметрів не визначається однозначно, він залежить від цілей побудови ВФ, особливостей модельованого процесу та вихідних даних. Інтерпретація параметрів, у свою чергу, залежить від методу їх оцінювання. Часто для інтерпретації виокремлених параметрів залучаються їх вирази через значення показників, а також значення часткових похідних