Види виробничих функцій

Нехай Ф _п — множина всіх функцій від п змінних, визначених у деякій області М простору Rⁿ. Підмножина F Ì Ф _n називається параметричною (точніше, k -параметричною), якщо існує під-
множина A_k Ì Rⁿ і відображення r: A_k ® Ф _n, тобто таке, щоr(A) = F. У k -параметричному класі F кожна функція

цілком визначається вектором параметрів a = (a ₁,..., a_k) і може бути записана як f_a (x). Зміст параметризації деякої множини функцій, по суті, є аналогічним уведенню системи координат, за допомогою якої кожна функція з цієї множини ототожнюється з послідовністю своїх координат. Параметризацію допускають лише не дуже широкі множини F, зокрема, множина Ф _п не може бути k -параметричною за жодного скінченого k. Якщо відображення ρ є лінійним, тобто p (a' + a'') = p (a') + p (a''), a', a'' Î A_k, то клас F утворюють функції, лінійні за параметром. Що ж спільного можуть мати функції f, які належать деякій параметричній множині F? Припустимо, що всі функції f Î F диференційовані до другого порядку включно, а множина A_k збігається з Rⁿ. Співвідношення розглядатимемо як систему з рівнянь відносно k параметрів a ₁,..., a_k. Кількість параметрів k, як правило, має той самий порядок, що й кількість змінних , тому здебільшого параметри a ₁,..., a_n можна виразити як функції від x ₁,..., x_n, y, , використовуючи k рівнянь з цієї системи. Підставляючи отримані вирази у рівняння, що залишилися, можна отримати систему диференційних рівнянь щодо функції f (·), яка вже не містить параметрів. Часто у такий спосіб вдається досягти того, щоб множина розв’язків отриманої системи рівнянь щодо функції f (·) збіглася б з F, тобто F був би загальним інтегралом системи. Власне, те, що функції з класу, який задовольняє цю систему диференційних рівнянь з частковими похідними, і є тією властивістю, що об’єднує їх. Ця обставина дає ключ до вибору виду виробничої функції певного об’єкта. Система диференційних рівнянь (разом із частковими похідними за чинниками є визначальною у формуванні таких систем. Використовуються також інші характеристичні функції — середня ефективність чинника, еластичність випуску за чинником, гранична норма заміщення чинника тощо), що поєднує між собою в загальному випадку значення функції, її аргументів і характеристик (в тій самій точці, що й значення функції). Інформація, що може бути отримана на стадії якісного (вербального) економічного аналізу модельованого об’єкта, часто дозволяє прийняти чи відхилити припущення щодо існування такого зв’язку.

Для кожного з видів функцій можна вказати одну чи кілька систем умов для характеристики функцій даного виду, що однозначно виокремлюють цей вид з-поміж інших. Ці умови являють собою чи співвідношення між різними характеристиками функції, чи опис поведінки окремих характеристик на різних підобластях області її визначення.