Определение касательных напряжений в поперечном сечении при поперечном изгибе

Напряжения, возникающие в различных сечениях балки, зависят от

величины изгибающего момента (чистый изгиб) М и поперечной силы Q в соответствующих сечениях.Нужно знать, как изменяются М и Q по длине балки. Удобнее всего представить их графически. Для этого принимают линию, параллельную оси балки, за ось абсцисс и строят два графика, ординаты которых определяют для каждого сечения балки величины М и Q. Эти графики называются: первый – эпюрой изгибающих моментов, второй – эпюрой поперечных сил. Будем откладывать положительные моменты вниз от оси, отрицательные – вверх (строим эпюру М со стороны растянутого волокна); положительные значения Q будем откладывать вверх от оси, отрицательные –вниз. Положим, что имеем балку, загруженную любыми нагрузками. На каком-либо участке, например, нагруженном сплошной нагрузкой, выделим элемент длиной dx. На этот элемент действует внешняя нагрузка, которую можно счи-

тать равномерной вследствие бесконечно малой длины элемента. Действие левой отброшенной связи заменим изгибающим моментом М и поперечной силой Q, которые будем считать положительными. Аналогично правую отброшенную часть тоже заменим поперечной силой Q + dQ и M + dM также положительного направления. Из условия равновесия выделенного элемента получим

Σ y = 0. Q + q ⋅ dx − Q − dQ = 0, qdx = dQ

Производная от изгибающего момента равна поперечной силе.

Определим величину опорных реакций

Проверим правильность определения опорных реакций

Реакции определены правильно.

Запишем выражения для Q и М по участкам балки и определим их

величину для характерных сечений. На основании выполненных расчетов построем эпюры Q и М

37 Рассмотрим пример построения эпюр М и Q для балки, изображенной на рис. 5.13. Определим величину опорных реакций

Проверим правильность определения опорных реакций

Σ y =10, 5 − 2 − 4 ⋅ 6 +15, 5 = 26 − 26 = 0.

Реакции определены правильно

Запишем выражения для Q и М по участкам балки и определим их

величину для характерных сечений.

На этом участке нет распределенной нагрузки и поперечная сила

равна постоянной величине.

Поперечная сила меняет знак, а она является производной функции

изгибающего момента.

Q = − 15, 5 + 4 x = 0; x = 3, 875 м.

x=0, M=0; x=6м, M=21 kHм

На основании выполненных расчетов построены эпюры Q и М

38. Построение эпюры в двутавровом поперечном сечении при прямом поперечном изгибе Для двутаврового сечения эпюра касательных напряжений имеет вид параболы с сильно выдвинутой средней частью, где ширина сечения резко уменьшается. В горизонтальных полках двутаврового сечения вертикальные касательные напряжения очень малы, большая часть поперечной силы (около95 %) воспринимается вертикальной стенкой. Но в полках возникают горизонтальные касательные напряжения. Они определяются по той же формуле (5.30), но только расстояние до рассматриваемой площадки нужно измерять от вертикальной оси по горизонтали, а статический момент отсеченной части полки – относительно нейтральной оси всего сечения, вместо ширины сечения b нужно вводить толщину полки. Статический момент части полки, отсеченной вертикальной линией, проведенной на расстоянии z от правого свободного края полки, составляет

и потому горизонтальное касательное напряжение для площадок, лежащих по линии m-m

Эти напряжения y свободного вертикального края полки равны нулю и по мере приближения к вертикальной оси у растут по закону наклонной прямой линии. Наибольшими они получаются при и выражаются так:

Взаимные с ними напряжения действуют в вертикальных сечениях, проведенных через полку параллельно вертикальной плоскости симметрии балки. При расчете на прочность при изгибе по допускаемым напряжениям для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, условие прочности запишется так:

[σ ] – допускаемое напряжение при изгибе;

[σ р ] – допускаемое напряжение при растяжении;

[σ с ] – допускаемое напряжение на сжатие;

– максимальное расстояние до точек в растянутой зоне от нейтральной оси;

– максимальное расстояние до точек в сжатой зоне от нейтральной оси.

[τ ] – допускаемое напряжение на срез или скалывание, для стали Ст3– 100 МПа, для сосны – 2 МПа.

При расчете балок на поперечный изгиб по предельным состояниям расчет ведется с использованием следующих предельных состояний:

– по несущей способности;

– по деформациям (расчет по деформациям будет дан позже).

Основные понятия изложим применительно к стальным и деревянным балкам.

При работе по несущей способности рассматриваем отдельно изгибающий момент и поперечную силу.

Расчет по изгибающему моменту производим по формуле

четным нагрузкам;

m – коэффициент условий работы близкий к единице;

R – расчетное сопротивление материала на изгиб;

W – момент сопротивления сечения; если сечение имеет ослабления, то берут момент сопротивления нетто.

Формула для расчета на поперечную силу получается из ранее выведенной формулы

При переходе к предельному состоянию вместо допускаемого на-

пряжения [τ ]на сдвиг вводится расчетное сопротивление на сдвиг Rcp, вместо величины поперечной силы Q определяемой по нормативным нагрузкам, вводится расчетная величина поперечной силы Qp, определяемая по расчетной нагрузке. Равенство примет вид

Затем к правой части добавляется коэффициент условий работы m, в результате появляется расчетная формула