Одновременное действие изгиба и кручения для брусьев круглого поперечного сечения. Расчет на прочность.

Если на поверхность бруса круглого поперечного сечения нанести продольные (параллельные оси бруса) и поперечные (перпендикулярные оси) риски, а также на торце провести прямую через центр тяжести сечения (рис. 4.12, а), а затем подвергнуть брус деформации кручения, приложив внешний скручивающий момент М, то окажется, что вертикальные прямые линии остаются прямыми и перпендикулярными оси бруса с неизменным расстоянием между ними. Горизонтальные прямые смещаются по винтовой линии, оставаясь параллельными. Прямоугольники превращаются в параллелограммы. Радиусы поперечных сечений по виду линии 1-1 (рис. 4.12, б) не искривляются и сохраняют свою длину.

Теория кручения брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение, основана на следующих положениях, подтвержденных опытами:

1.Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ней и после деформации(гипотеза плоских сечений), они лишь поворачиваются на некоторые углы вокруг этой оси.

2.Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют свою

длину. Это позволяет предположить, что в направлении, перпендикулярном оси Х, нет нормальных напряжений.

3.Расстояния (вдоль оси бруса) между поперечными сечениями не

изменяются. Это позволяет предположить, что в направлении продольной оси бруса также отсутствуют нормальные напряжения.

Напряженное состояние при кручении описывается чистым сдвигом.

Формулы, выведенные на основе этих положений, совпадают с формулами, полученными точными методами теории упругости, и подтверждаются экспериментально.

Отношение полного угла закручивания dφ на элементарном участке

бруса к длине dx называется относительным углом закручивания θ

.

Продольное волокно С1С2, находящееся на расстоянии  от оси бруса, можно рассматривать как ребро элементарного параллелепипеда, подверженного сдвигу. Абсолютный сдвиг , а относительный сдвиг

По основанию С1параллелепипеда в направлении сдвига, т.е. перпендикулярно радиусу ρ действуют касательные напряжения τ. Из закона Гука при сдвиге

для конкретного сечения – величина постоянная, а следовательно, в поперечных сечениях бруса при кручении возникают касательные напряжения, направление которых в каждой точке перпендикулярно радиусу, соединяющему эту точку с центром сечения, а значение прямо пропорционально расстоянию точки от центра. В центре (при ρ = 0) касательные напряжения равны нулю; в точках же, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности бруса, они наибольшие. График изменения величин вдоль какого-либо радиуса (т.е. эпюра касательных напряжений) изображается прямой линией.

Полярным моментом сопротивления сечения называется отношение

полярного момента инерции к расстоянию от центра тяжести до наиболее удаленной его точки.

Полярный момент инерции круглого поперечного сечения определяется по формуле

следовательно, момент сопротивления равен

Полный угол закручивания стержня на участке длиной l можно получить так:

Напряженное состояние при кручении характеризуется чистым сдвигом ; а главные площадки повернуты на угол 45̊.

Потенциальная энергия при кручении равна работе внешнего статически нарастающего скручивающего момента .

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в скручиваемом

брусе, не должны превышать соответствующих допускаемых напряжений: .

Это требование называется условием прочности при кручении. Его

можно записать в развернутом виде

Допускаемое напряжение при кручении (так же, как и при других видах деформаций) зависит от свойств материала рассчитываемого бруса и от принятого коэффициента запаса прочности

Величина в условии прочности (4.40) представляет собой значение наибольшего касательного напряжения в опасном сечении бруса. Для бруса постоянного сечения наиболее опасным является сечение, в котором крутящий момент имеет наибольшее абсолютное значение.

Расчет вала на прочность не исключает возможности возникновения

деформаций, недопустимых при его эксплуатации. Большие углы закручивания вала особенно опасны при передаче им переменного во времени момента, так как при этом возникают опасные для его прочности крутильные колебания. В технологическом оборудовании, например, металлорежущих станках, недостаточная жесткость на кручение некоторых элементов конструкции приводит к нарушению точности обработки деталей.