Азіргі алгебра мен сандар теориясынын пайда болу тарихы

Аналитикалық геометриядан басқ а алгебра мен анализге тығ ыз байланысты дифференциалдық геометрия да дамыды. 17 ғ асырда проективтік геометрияның да негізгі ұ ғ ымдары қ алыптаса бастады. Бұ л ғ асырдағ ы математиканың басқ а жетістіктерінің қ атарына сандар теориясы жө ніндегі Б. Паскаль мен П. Ферма зерттеулерін, комбинаториканың негізгі ұ ғ ымдарының жасалуын, ық тималдық тар теориясы жайлы алғ ашқ ы жұ мыстарды атауғ а болады.
18 ғ асыр. Математиканың айтылмыш тараулары, ә сіресе математикалық анализ 18 ғ асырда одан ә рі дамыды. Бұ л салада ұ лы математиктер Л. Эйлер мен Ж. Лагранж ерекше ең бек сің ірді. Осы ғ алымдар мен француз математигі А. Лежандр ең бектерінде сандар теориясы алғ аш рет жү йелі ғ ылым санатына қ осылды. 19 ғ асырда алгебрадан алгебралық тең деулерді радикал арқ ылы шешу мә селесі айқ ындалды (Н. Абель, Э. Галуа). Сонымен қ атар алгебралық амалдардың жалпы қ асиеттері мұ қ иет зерттеле бастады. Бұ л жағ дайда 20 ғ асырда алгебраның жаң а бұ тағ ы- абстрактілі немесе жалпы алгебраның жасалуына ә кеп соқ тырды. Осығ ан байланысты енгізілген топ, сақ ина, ө ріс ұ ғ ымдары математика мен жаратылыс танудың ә р тү рлі салаларында кең інен қ олданыс тапты. Алгебра мен геометрияның шекарасында норвег математигі С. Ли (1873 жылдан бастап) қ азіргі физикада мә ні зор ү здіксіз топтар теориясын жасады.

Алгебра (арабша ә л-жә бр） － Математиканың тең деулерді шешу жө ніндегі есептерге байланысты дамығ ан негізгі бө лімдерінің бірі. Алгебра атау жә не жеке ғ ылым саласы ретінде Ә бу Абдаллаһ ә л-Хорезмидің 1-ші, 2-ші дә режелі тең деулерге келтірілетін есептердің жалпы шешімі кө рсетілген «Ә л-жә бр уә -л-Мұ қ абала» атты ең бегінен бастау алады. Ал, Омар Хайям（ 1038/48-1123/24） — 3-ші дә режелі тең деулерді зерттеуді жү йелеп, ө зінің «Алгебрасын» жазғ ан. Орта ғ асырлық шығ ыс ғ ұ ламалары гректер мен ү нділердің математикасын тү рлендіріп, қ айта ө ң деп Еуропағ а табыс еткен. Амалдарды белгілейтін таң балар енгізу нә тижесінде алгебра одан ә рі дамыды. 17-ғ асырдың ортасында қ азіргі алгебрада қ олданылатын таң балар, ә ріптер толық орнық ты. Ал 18-ші ғ асырдың басында алгебра математиканың жеке бө лімі ретінде қ алыптасты. 17-18—шің ғ асырларда тең деулердің жалпы теориясы (кө пмү шеліктер алгебрасы, т. б) қ арқ ындап дамыды. Оғ ан сол кездегі ірі ғ алымдар — Рене Декарт, Исаак Ньютон, Жан Даламбер мен Жозеф Лагранж ү лкен ү лес қ осты. Неміс математигі Карл Гаусс кез-келген n дә режелі алгебралық тең деудің нақ ты не жорамал n тү бірі болатындығ ын анық тағ ан (1799). 19-шы ғ асырдың басында норвег математигі Нильс Абель жә не француз математигі Эварист Галуа дә режесі 4 тен жоғ ары болатын тең деулердің шешуін алгебралық амалдар кө мегімен тең деудің коэффиценті арқ ылы ө рнектеуге болмайтындығ ын дә лелдеген.

Сандар теориясы — математиканың бү тін, рационал жә не алгебралық сандардың қ асиеттерін зерттейтін саласы. Ә сіресе оң натурал сандар 1, 2, 3, …, оның қ асиеттері мен оларғ а арифмет. амалдар қ олдану Сандар теориясының зерттеу аясында ерекше орын алады. Грекияда б.з.б. 6 ғ -да (Пифагор мектебінде) бү тін сандардың бө лінгіштігі зерттеліп, бү тін сандардың жеке тү рлері (мыс., жай сандар, қ ұ рама сандар, квадрат сандар) ажыратылды, кемел сандардың қ ұ рылымы қ арастырылды. Евклид “Негіздерінде” Евклид алгоритміне сү йеніп, екі бү тін санның ең ү лкен ортақ бө лгішін табуғ а арналғ ан жү йелі бө лінгіштік теориясы қ ұ рылды. Онда Евклид жай сандардың шексіз кө п болатынын дә лелдеді. Диофанд (б.з.б. 3 ғ.) “Арифметика” деген ең бегінде тең деулердің бү тін санды шешулерін табумен айналысып, Сандар теориясын дамытуғ а ү лкен ү лес қ осты. Сандар теориясының кейбір мә селелеріҚ ытайда (2 ғ -дан бастап), Ү ндістанда (7 ғ -дан бастап), Шығ ыс араб елдерінде (9 ғ -дан бастап) қ арастырылды. Еуропада Сандар теориясының дамуы П.Ферма (1601 — 65) зерттеулерінен басталады. Ферма ө зінің атақ ты теоремасын дә лелдеген жә не бұ л теорема салыстыру теориясында ү лкен рө л атқ арғ ан кіші теорема болды.. 19 ғ -дың ортасында П.Дирихле (1805 — 59) арифмет. прогрессия туралы теоремасын дә лелдеп, ө зінің функционалдық қ атарын енгізді. Сандар теориясының дамуына ресейлік ғ алымдар П.Чебышев (1821 — 94), А.Марков (1856 — 1922), И.Виноградов (1891 — 1983), т.б. ү лес қ осқ ан. Қ азақ станда Сандар теориясының дамуын арттыруда Б.Оразбаев шә кірттерімен бірге жемісті ең бек етті. Аналит. ә дістерді алгебрада қ олдануды қ ажет ететін есептерді, яғ ни абсолют абельдік ө рістердің асимптотик. таралу заң дылығ ы (Оразбаев), абсолют абельдік ө рістер санының натурал қ атарда орналасу заң дылығ ы (С.Кенжебаев, А.Бө ленов), Дирихленің L-қ атарларының теор.-функционалдық қ асиеттері (Р.Тұ рғ аналиев, т.б.), жазық облыстардағ ы бү тін нү ктелер санының бағ асы (С.Ә блә лимов), кейбір мультипликативтік функциялардың бағ асы (И.Ильясов) зерттелді. Қ азақ станда, негізінен, сандардың аналитик. теориясы дамуда. Қ азіргі кезде Сандар теориясының шешілмеген мә селелері кө п: жай егіз сандар мә селелері, n2+1 тү ріндегі жай сандардың шексіздігі, шең бер ішіндегі жә не гипербола астындағ ы бү тін нү ктелер, p+е сандарының трансценденттігі, т.б

61. Ық тималдық тар теориясы мен комбинаторлық анализдің дамуы. Ық тималдылық теориясы 17 ғ -дың орта кезінде пайда болды. Ық тималдылық теориясы 17 ғ -дың орта шенінде ә йгілі ғ алымдар Б.Паскаль (1623 – 62) мен П.Ферма (1601 – 65), Х.Гюйгенс (1629 – 95), Я.Бернулли (1654 – 1705), Муавр (1667 – 1754), Гаус (1777 – 1885) ең бектерінде пайда болып, ә рі қ арай дамығ ан. Қ азір Лаплас (1812) пен Пуассон (1837) теоремаларының дә лелденуі осы кезең ге жатады; ал А.Лежандр (Франция, 1806) мен К.Гаусс (1808) ең кіші квадраттар тә сілін жетілдірді. Ық тималдылық теориясы тарихының ү шінші кезең і (19 ғ -дың 2-жартысы) негізінен орыс математиктері П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов жә не А.А. Марков (ү лкені) есімдеріне байланысты. 19 ғ -дың 2-жартысында Батыс Еуропада матем. статистика (Белгияда А.Кетле, Англияда Ф.Гальтон) мен статис. физика (Австрияда Л.Больцман) бойынша кө птеген ең бектер жазылды. Бұ л ең бектер (Чебышев, Ляпунов жә не Марковтардың негізгі теор. ең бектерімен қ атар) ық тималдылық теориясы тарихының тө ртінші кезең інде ық тималдылық теориясының шешілуге тиісті мә селелерінің аясын кең ейтті. Бұ л кезең де шет елде де (Францияда Э.Борель, П.Леви, т.б., Германияда Р.Мизес, АҚ Ш-та Н. Винер, т.б., Швецияда Г.Крамер) КСРО-да ө те маң ызды зерттеулер жү ргізілді. Ық тималдылық теориясының жаң а кезең і С.Н. Бернштейннің зерттеулерімен байланысты. Ресейде А.Я. Хинчин мен А.Н. Колмогоров ық тималдылық теориясының мә селелеріне нақ ты айнымалы функциялар теориясының тә сілдерін қ олдана бастады. Кейінірек (30-жылдары) олар процестер теориясының негізін қ алады. Қ азақ стан ғ алымдары да (І.Б. Бектаев, Б.С. Жаң бырбаев) Ық тималдылық теориясы бойынша зерттеулер жү ргізіп келеді. Ық тималдылық теориясының негізін қ ұ рудағ ы қ азіргі ең жиі тарағ ан логик. сұ лбаны 1933 ж. кең ес математигі А.Н. Колмогоров жасағ ан.

62. 17 ғ асырдың бірінші жартысында еуропада интегралдық жә не дифференциалдық ә дістердің дамуы. 17 ғ асырдан бастап математиканың дамуында негізінен ө згеше кезең басталды. Енді математика зерттейтін сандық қ атынастар мен кең істік формаларының ауқ ымы сандар, шамалар жә не геометриялық фигуралармен шектелмейді, алғ ы шепке функция ұ ғ ымы шығ ады, ө йткені математикағ а қ озғ алыс, ө згеріс идеясы ашық енгізіледі.Математеканың дамуындағ ы бұ л кезең 17 ғ асырдағ ы математикалық жаратылыс танудың (ең ә уелі механика, оптика) дамуына тікелей байланысты туды, жекелеген табиғ ат қ ұ былыстарының ағ ымын жалпы, математикалық жолмен тұ жырымдалғ ан табиғ ат заң дары тү рінде ө рнектеу қ ажет болды.17 ғ асырдағ ы математикалық жетістіктері логарифмдердің ашылуынан басталды. 1637 жылы Р. Декарт «Геометрия» атты ең бегін жариялады. Ол мұ нда сол дә уірдегі бү кіл математикағ а дерлік алгебраны арқ ау етіп аналитикалық геометрияны жасады. Осының арқ асында математикалық анализдің тү рлі салаларының - дифференциалдық интегралдық, вариациялық есептеулердің тууын дайындағ ан жалпы ә діс жасады. Декарттың бұ л ә дісі екі идеяғ а- координаталар мен айнымалы шамалар идеясына негізделді. Математикалық анализдің бастамаларын жасауда П.Ферма, И. Кеплер, Б. Паскаль, ағ ылшын математигі Дж. Валлис т.б. кө п ең бек сің ірді. р (х)=0 тең деуінің тү бірлерін y=p(х) қ исық сызығ ы мен абцисса осінің қ иылысу нү ктелері арқ ылы кескіндеу мү мкіндігіне тығ ыз байланысты алгебрада кез келген дә режелі тең деудің нақ ты тү бірлерін зерттеу қ олғ а алынды (Р. Декарт, И. Ньютон, француз математигі М. Ролль). И. Ферманың максимум жә не минимумдар, қ исық сызық тарғ а жанама жү ргізу жө ніндегі зерттеулерінде дифференциалдық жә не интегралдық есептеулердің ә дістері кездеседі (бірақ дараланып бө лінбеген). Шексіз аз шамалар анализінің тағ ы бір кө зі И. Кеплер (1615) мен Б. Кавальери (1635) ең бектеріндегі айналу денелерінің кө лемін жә не басқ а есептерді шешуге қ олданылғ ан «бө лінбейтіндер методы» болып табылады. 17 ғ асырдың аяғ ына таман И. Ньютон мен Г. Лейбниц ең бектерінде дә л мағ ынасындағ ы дифференциалдық жә не интегралдық есептеулердің негізі қ аланды. Олар алғ аш рет жаң а есептеудің негізгі амалдары дифференциалдау мен интегралдауды жалпы тү рде қ арастырып, олардың ө зара байланысын тағ айындады (Ньютон- Лейбниц формуласы). Алайда Ньютон мен Лейбниц бұ л мә селеге қ атысы ә р тү рлі кө зқ араста болды. Ньютон ү шін бастапқ ы ұ ғ ымдар- механикалық есептерден келген «флюента» (айнымалы шама) жә не оның «флюксиясы» (айнымалы шаманың ө згеру жылдамдығ ы). Флюксияларды жә не флюенталар бойынша флюнсиялар арасындағ ы қ атыстарды (дифференциалдау жә не дифференциалдық тең деулер қ ұ ру) табуды кө здеген тура есепке Ньютон флюнсиялар арасындағ ы қ атыстар бойынша флюенталарды табу жайлы кері еспті, былайша айтқ анда дифференциалдық тең деулерді интегралдаудың жалпы есебін қ арсы қ ойды. Лейбниц болса ә сіресе шекті шамалар алгебрасынан шексіз аз шамалар алгебрасына кө шуге кө п кө ң іл болды, ол интегралды ең ә уелі саны шексіз кө п шексіз аз шамалардың қ осындысы ретінде, ал дифференциалдық есептеулердің негізгі ұ ғ ымын айнымалы шамалардың шексіз ө сімшесі тү рінде қ арастырды. Бұ л саладағ ы идеяларды Я. Бернулли, И. Бернулли, француз математигі Г. Лопиталь т.б. одан ә рі дамытты. Аналитикалық геометриядан басқ а алгебра мен анализге тығ ыз байланысты дифференциалдық геометрия да дамыды.

Сандық интегралдау - анық талғ ан интегралдарды жуық тап есептеуге жә не дифференциалдық тең деулерді жуық шешуге арналғ ан математиканың бө лімі. Интегралдарды жуық тап есептеу формулалары квадратуралық формулалар деп аталады. Дифференциалдық тең деулерді жуық шешудің кө птеген аналитикалық ә дістері бар. Олардың ішінде біртіндеп жуық тау ә дістері, Чаплыгин ә дісі, Риц ә дісі, Галеркин ә дісі т.б

63. Кеплердің интегралдық ә дісі. Кеплер Иоганн (нем. Johannes Kepler 27.12. 1571, Германия, Вюртемберг, Вейль-дер-Штадт қ. – 15.11.1630, Бавария, Регенсбург қ.) - Немiс астрономы, математигі. ХVІІ ғ. адамзаттық ғ ылым-техника тө ң керісінің дә уір бө лгіш тұ лғ аларының бірі. Кеплердiң зерттеулерi астрономия, механика, оптика жә не математика салаларына байланысты болады. Алғ аш Кеплер протестант уағ ыздаушысы болғ ысы келді, бірақ оның матиматикалық қ абілеттілігінің арқ асында, Кеплерді 1594 ж. Граца (қ азіргі Австрия) университетіне дә ріс оқ уғ а шақ ырады. Кеплер 1612 ж. Линц қ -на қ оныс аударғ ан. Осында Кеплер 14 жыл ө мір сү рді. Ол император сарайының маң ындағ ы математигі жә не астрономы атағ ы берілді. Математикадан сабақ беру жә не гороскоптар табыс ә келді.). И. Ферманың максимум жә не минимумдар, қ исық сызық тарғ а жанама жү ргізу жө ніндегі зерттеулерінде дифференциалдық жә не интегралдық есептеулердің ә дістері кездеседі (бірақ дараланып бө лінбеген). Шексіз аз шамалар анализінің тағ ы бір кө зі И. Кеплер (1615) мен Б. Кавальери (1635) ең бектеріндегі айналу денелерінің кө лемін жә не басқ а есептерді шешуге қ олданылғ ан «бө лінбейтіндер методы» болып табылады.

64. Кавальери мен Торричеллидің «бө лінбейтіндер» ә дісі. БӨ ЛІНБЕСТЕР Ә ДІСІ, бө лінбейтіндер ә дісі - пішіндердің аудандарының немесе кө лемдерінің қ атынастарын анық тауғ а арналғ ан тә сілдердің жиынтығ ының атауы. Бө лінбестер ә дісінің негізіне ө лшемдерінің катынасы анық талатын пішіндердің " бө лінбейтін" (бө лшектенбейтін) бө ліктерін салыстыру жатқ ызылғ ан. Бө лінбестер ә дісі ежелгі грек ғ ылымынан бастау алғ ан. Біздің заманымыздан бұ рынғ ы V — IV ғ асырларда ғ ұ мыр кешкен Демокрит (б.з.б. 460 — 370) денелерді " бө лінбейтін" атомдардың жиынтығ ы деп қ арастырғ ан. Архимед (б.з.б. 287 — 212) пішіндердің аудандары мен кө лемдерін рычагтар іліміне қ абыстыра отырып, жазық пішіндер шексіз кө п параллел кесінділерден, ал геометриялық денелер шексіз кө п параллел жазық қ ималардан қ ұ ралғ ан деп қ арастыру арқ ылы анық тағ ан. Архимед бө лінбестер арқ ылы анық талғ ан нә тижелерді тү гесу ә дісі бойынша қ айтадан тексеру кә жет деп есептеген.

Бө лінбестер ә дісі идеясы XVI — XVII ғ асырлар шегіндегі зерттеулерде қ айта жаң ғ ырғ ан. Бұ л ә дісті қ айта ө ркендетуге неміс ғ алымы Иоганн Кеплер' (1571 — 1630) мен итальян математигі 'Бонавентура Кавальери (1598 - 1647) кө п ү лес қ осқ ан. 'Б.Кавальери дамытқ ан бө лінбестер ә дісін одан кейін итальян физигі ә рі математигі Эванджелиста Торричелли (1608 – 1647), ағ ылшын математигі Джон Валлис (1616 - 1703), француз матемагигі 'Блез Паскаль (1623 - 1662), т.б. ғ алымдар зерттеген. Бө лінбестер ә дісі интегралдық есептеудің жасалу жолындағ ы бір кезең і болды.[1]