Замечания.

Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным.

Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным.

Определение. Упорядоченная система векторов e₁, e₂, …, e_n Î X называется базисом в X, если

система векторов e₁, e₂, …, e_n линейно независима;

любой вектор x пространства X может быть представлен в виде

Выражение называется разложением вектора x по базису e₁, e₂, …, e_n.

Коэффициенты ξ ₁, ξ ₂, …, ξ _n в разложении векторапо данному базису определяются однозначно.

7….
Пусть , – два базиса произвольного векторного пространства V над полем K. Назовем первый базис " старым", а второй " новым". Разложим векторы нового базиса по старому базису:

(2)

(Обратите внимание на нумерацию коэффициентов!)

Каждое равенство в (2) можно записать в матричной форме, если мы формально воспользуемся правилом умножения строки на столбец. Пусть – строка длины , элементами которой являются векторы старого базиса. Аналогично, – вектор–строка нового базиса. Будем рассматривать эти строки как матрицы соответствующих размеров и производить с ними действиякак с числовыми матрицами. (Такие действия можно обосновать.) Тогда, ,

.

Если мы обозначим столбец координат вектора через :

,

то последнее равенство можно записать в виде:

,

а всю систему равенств (2) – в виде:

,

где

.

Таким образом, равенства (2) в матричной форме записи имеют вид:

. (3)

Такая форма записи позволяет значительно облегчить выкладки.

Определение. Матрица

называется матрицей перехода от старого базиса к новому базису .

Матрицу перехода от базиса к базису мы обозначать буквой С или или .

В этих обозначениях равенство (3) принимает вид:

Свойства матрицы перехода

Лемма. Пусть А и В – две матрицы размера над полем K. Если для любого столбца выполняется равенство , тогда .

Доказательство. Пусть – столбцы матрицы А, – столбцы матрицы В, – канонический базис пространства столбцов .

Подставляем в равенство вместо столбца Х столбцы канонического базиса. Получаем равенство . Легко проверить, что , верны равенства и . Отсюда, , , а значит и , ч.т.д.

Лемма доказана.

Теорема. Пусть , , – три базиса произвольного векторногопространства . Тогда

. (9)

Доказательство. Пусть – произвольный вектор, , и –столбцы его координатотносительно базисов , , соответственно. Тогда по теореме предыдущего параграфа, справедливы равенства:

, , .

Подставляя второе из этих равенств в первое, получаем:

,

откуда следует, что

.

Так как мы взяли произвольный вектор , то столбец его координат может быть любым столбцом из пространства столбцов . Применяя лемму, получаем равенство

.

Теорема доказана.

Следствие. Матрица перехода является обратимой.

Доказательство. Пусть , – произвольные базисы векторного пространства V. По формуле (9) находим:

,

где вместо базиса мы взяли базис . Легко видеть из определенияматрицы перехода, что матрица перехода от базиса к этому же базису является единичной, т.е.

и мы имеем:

.

Аналогично получаем

.

Отсюда следует, что , а , ч.т.д.

8….